*~* ШРИ ЯНТРА - ТАЙНЫ ГЕОМЕТРИИ*~*

Воспроизведено по публикации:

Indian Journal of History of Science, 19 (3): p:279-292 (1984) SRIYANTRA AND ITS MATHEMATICAL PROPERTIES ALEXEY PAVLOVICH KULAICHEV Biology Faculty of Moscow University, Moscow, USSR(Received 29 July 1983)  

Большое спасибо Ученому секретарю секции истории науки Индийской Академии Наук, доктору А.К.Багу (A.K.Bag) за неоценимую помощь на всех этапах подготовки этих материалов к первозданной публикации на английском языке.

Резюме

Шри Янтра или Великая Янтра является древним геометрическим символом, используемом для медитации в различных школах тантризма, и его прослеженные исторические корни уходят за рубеж 1 тысячелетия до н.э. В статье приведены результаты структурного и аналитического исследования центральной звезды Шри Янтры (14-угольник, образованный пересечением девяти треугольников) с типизацией доступных по литературе образцов и анализом их временного и количественного распространения. Установлено, что:

  1. процесс воспроизведения звезды крайне сложен для ручной реализации даже современными чертежными средствами из-за необходимости точного совмещения многочисленных точек пересечения;
  2. задача общего математического анализа звезды сопряжена со столь большим объемом вычислений, что остается далеко за пределами возможностей сверхпроизводительных компьютеров.

Тем самым происхождение Шри Янтры из Древнего Мира является пока непонятным феноменом. Высказаны предположения о возможности существования в древности сферического прототипа звезды Шри Янтры и неизвестной культурно-исторической альтернативы математическому знанию. В заключение подчеркивается, что дальнейшее изучение этого сложного и малоизвестного феномена требует совместных усилий специалистов из многих областей знания.

Введение

В древнем мире мы иногда обнаруживаем примеры некоторых культурных достижений, которые на первый взгляд могут показаться опирающимися на высокий уровень математического или технологического знания, превосходящего известные возможности древней цивилизации. Исследование таких феноменов может привести нас к открытию культурных и исторических альтернатив математическому знанию и позволить глубже понять значение и место современного научно-технического прогресса. Одним из таких уникальных объектов является Шри Янтра (SriYantra или Велткая Янтра), происходящая из древней индуистской традиции. Она принадлежит к классу объектов - янтр, используемых для медитации в различных школах тантризма и йоги. Интерпретация Шри Янтры связана с глубокими космогоническими и психофизиологическими концепциями, а ее геометрические свойства оказались неожиданно чрезвычайно сложными для исследования.

Источники.

Западной науке Шри Янтра, по-видимому, стала известна [1] из работ видного английского индолога начала нашего века, сэра Джона Вудроффе (литературный псевдоним - Артур Авальон), обнаружившего и впервые выполнившего переводы ряда тантристских текстов [4,5]. Примерно в это же время Шри Янтра привлекла внимание немецкого индолога Генриха Циммера [2], который привел описание некоторых ритуалов ее использования. Но только в послевоенные годы появляются переводы отдельных тантристких манускриптов, в той или иной мере упоминающих Шри Янтру [3-6]. В последнее же двадцатилетие начинается более внимательное изучение культуры тантры и выходят в свет ряд монографий [7-17], посвященных семантике и прагматике янтр различных типов. К сожалению, эти единичные научные труды, в той или иной степени касающиеся Шри Янтры, имеют большей частью описательный, этнографический характер. В них, как правило, не предпринимается попыток исследования вопросов происхождения, генезиса, распространения и типологии изображений Великой янтры, ее структуры, геометрии и психологии восприятия.

Исторические корни.

Наиболее ранний из известных образцов изображения Шри Янтры, который нам удалось обнаружить по литературным изысканиям, находится в монастыре Шрингари Матха (Srinagari Matha), основанным великим религиозным мыслителем Шанкарой в восьмом веке нашей эры. Шри Янтра также упоминается в надписи, выполненной в буддистской империи Шривиджайя (Srivijaya) на каменной плите в Южной Суматре [11], датируемой 7 веком нашей эры. Тем самым, уже до этого времени Шри Янтра не только проделала длительный путь становления в качестве центрального ритуального объекта на материке, но и распространилась по удаленным регионам индуистского влияния. Действительно, уже в Атхарваведе [12] (датируемой приблизительно XII столетием до н.э.) встречается гимн, посвященный ритуальному изображению (без явного упоминания его наименования), образованному, как и Шри Янтра, из девяти пересекающихся треугольников.

Композиция.

Геометрически Шри Янтра состоит (рис. 1) из центральной 14-угольной звезды, объемлющих ее 8- и 16-лепестковых лотосов, заключенных в Lквадрат защиты¦ бхупура (bhupura) с четырьмя символическими дверьми на четыре стороны света. Сама звезда образована пересечением девяти больших треугольников, в результате чего образуются 43 малых треугольника, составляющие пять внутренних колец.

 

Рис. 1. Шри Янтра в одной из традиционных палитр

Метафизика.

Имеется два способа рассмотрения Шри Янтры в процессе медитации: изнутри-вовне и извне-вовнутрь, то есть из центральной точки бинду (bindu) к бхупуре (Lквадрат защиты¦) через концентрические цепи малых треугольников, лепестков лотоса и линий квадрата защиты, или же в обратном направлении. Эти два метода используются в двух тантристких ритуалах правого и левого направлений, соответственно. Направление медитации изнутри-вовне ассоциируются с эволюционным развитием Вселенной от исходного точечного, вневременного и внепространственного состояния (имманентное единство Шивы и Шакти: высшего сознания и высшей энергии, мужского и женского основополагающих принципов) к феноменальному проявлению и к все большей и большей дифференциации и усложнению форм материи. Противоположенное направление рассмотрения Шри Янтры ассоциируется с обратным процессом деструкции Вселенной, заканчивающимся в точечном недифференцированном состоянии.

Психофизика.

В процессе медитации адепт (sadhaka) осуществляет проекцию эволюционно-инволюционного процесса на свое тело, целью которого является пробуждение энергии Шакти, именуемой Кундалини, которая спит в основании позвоночника (в так называемой Муладхара-чакра, ассоциируемой с бхупурой Шри Янтры). Далее, зрительно трассируя Шри Янтру к центру, адепт старается направить эту энергию вверх по позвоночному столбу до слияния с аспектом Шивы, располагающимся в головной чакре (Сахасхара-чакра, ассоциируемая с бинду Шри Янтры). Таким образом как бы проходится путь, обратный развитию вселенной. Поэтому, согласно тантристкой доктрине, в конечной точке этого процесса достигается неописуемое расширение восприятия с полным знанием основ мироздания. Выполняя обратную процедуру, адепт возвращается к своему обычному чувственному (телесному) восприятию.

Математический анализ

Наше внимание в данной статье будет направлено исключительно на геометрическую структуру центральной звезды Шри Янтры. Процедура ручного воспроизведения этой звезды (рисование копий, особенно с увеличением размера изображения) оказывается неожиданно сопряженной с крайне серьезными проблемами. Действительно, большинство из ее линий проходят через 3-6 точек пересечения других линий, поэтому требуется огромное число перерисовок всей фигуры, чтобы добиться удовлетворительного совмещения всех этих точек пересечения. Попробуем более детально разобраться в данной проблеме.

Примечание: Более детальные сведения о ритуальном значении Шри Янтры можно найти в наиболее полной в этом плане монографии [13].

Структурные компоненты.

Проведенный предварительный анализ показывает, что геометрически звезда Шри Янтры может быть разложена на четыре последовательных, вложенных структурных компонента (рис. 2). Процесс конструирования каждого компонента включает рисование замкнутой последовательности линий, в завершение чего необходимо провести линию через три точки пересечения ранее нарисованных линий. Иными словами, в процессе построения каким-то образом надо добиться, чтобы эти точки уже лежали на одной прямой.

Попытаемся проиллюстрировать эту процедуру на примере первого структурного компонента (рис. 2а). Прежде всего, выберем априорно значение yA (которое потом мы вынуждены будем корректировать при построении компонента 4), исходя из которого однозначно начертим два наибольших и симметричных треугольника (тонкие линии на рис. 2а).

Примечание: Напомним, что символ из двух скрешенных треугольников в западной ойкумене обычно именуется звездой или щитом Давида (реже - печатью Соломона) и обозначает нисхождение духа в материю. С другой стороны, этот символ является одним из центральных в тантризме и обозначает там единство сознательного (треугольник с вершиной вверх) и энергетического (вниз направленный треугольник) основополагающих принципов развития мироздания. Очевидно, что этот символ имеет не арийское (поскольку он не встречается более нигде по пути движения ариев, в отличие от свастики - символа плодородия, svastika на санскрите дословно означает Lхорошо кушать¦), а более древнее - дравидское происхождения, то есть он существовал в Индостане задолго до времен Хараппы и Мохеджо Даро (2.5 тыс. лет до н.э., где уже встречаются печати со свастикой) и тем более - задолго до времен царств Давида и Соломона (XI-X века до н.э.). Поскольку этот символ не упоминается предшествующими библейскими пророками, не встречается ни в каких более древних сопредельных культурах, а именно в эпоху царя Соломона, после беспрецедентных завоеваний Давида начинаются прямые торговые контакты иудеев с Индией, то становится очевидным, что шестиугольная звезда попала в Палестину в это время и именно из Индостана, в конце концов получив там новую интерпретацию, отличную от космогонии тантры.

а) компонент 1: yD = f(xA')

б) компонент 2: yC = f(xA)

в) компонент 3: xB = f(yB)

г) компонент 4: yE = f(yA)

Рис. 2. Четыре структурных компонента центральной звезды Шри Янтры (вспомогательные построения изображены тонкими линиями, а направление стрелок указывает выбранный порядок конструирования; под рисунками приведены функционалы для оценки точности построения компонентов).

Затем произвольно выберем точку A- на основании вверх направленного треугольника (фактически - выберем значение xA-) и проведем прямую через точки 1 и A- до пересечения с вертикальной осью круга, а затем начертим горизонталь через точку 2 до пересечения с окружностью, получая точку D. Теперь, имея три точки 3, A', D, мы должны провести линию через точки 3, A' до пересечения с окружностью и хотели бы, чтобы это пересечение совпало с точкой D. Однако чтобы достичь этого, требуется выполнить целую последовательность перестроений фигуры (итераций или последовательных приближений - в математической терминологии) с некоторым перемещением точки A- и с оценкой на каждом шаге этого процесса степени погрешности несовпадения завершающей точки пересечения с точкой D.

Конструкция и построение компонента 2 (рис. 2б) почти симметричны компоненту 1 и независимы от него, причем априорно выбираемое значение yB потом надо будет корректировать при построении компонента 3. Когда компоненты 1 и 2 построены с удовлетворительной точностью совмещения точек пересечения, мы имеем все линии, необходимые для рисования компонента 3 (рис. 2в). В этом процессе обнаружится несоответствие точки пересечения завершающей линии с уже имеющейся точкой B, для уменьшения которого придется изменить yB и, следовательно, - снова итерационно перестроить компонент 2. При построении компонента 4 (рис. 2г) возникнет несоответствие основания внутреннего треугольника и вписанной в него окружности, которое можно пытаться нивелировать только изменением значения yA с повторением всех итерационных перестроений трех предшествующих компонентов. 

Итерационные построения.

Тем самым, взаимодействие между четырьмя итерационными процедурами построения структурных компонентов включает два уровня вложенности (рис. 3), а именно: на каждом шаге приближения третьего компонента требуется повторение полного цикла итераций по компоненту 2, а на каждом шаге приближения компонента 4 необходимо выполнить три вложенных итерационных процедуры. Если мы обозначим символами a, b, c, d число итерационных шагов, необходимых для построения компонентов 1-4 с некоторой заданной точностью, то общее число перерисовок N звезды Шри Янтры можно выразить формулой: 

N=ad+bcd+cd+d                 (1)

Пусть (при небольших размерах Шри Янтры) a=b=c=d=10, тогда по формуле 1 получаем N=1210. Тем самым становится очевидным, что объем необходимой чертежной работы для ручного воспроизведения звезды достаточно велик для обычных человеческих способностей и может очень быстро расти с увеличением требований к точности конструкции (например, с увеличением размеров фигуры, когда ранее незаметные погрешности в совмещении точек пересечения становятся очевидны).

Здесь следует подчеркнуть, что провозглашение компонента 4, резко усложняющего трудоемкость воспроизведения звезды Шри Янтры, может показаться излишним. Однако он явно присутствует в некоторых образцах, и, кроме того, его наличие коррелирует с символикой внутреннего треугольника [13], а именно: из точки первичного единства Шива-Шакти в первую очередь возникает тройственность первичных принципов космического существования: творение (Авьякта), сила (Махат) и эго (Ахамкара), представленных в углах тремя мужскими ипостасями (Брахма, Вишну и Рудра), а на сторонах треугольников - их женскими партнерами (Бана, Дхану и Анкуша).  

Вышерассмотренная вложенная четырехступенчатая процедура представляется единственно возможной техникой, если мы желаем увеличить точность воспроизведения конструкции звезды Шри Янтры. Однако для простого копирования звезды с имеющегося образца в рамках его точности достаточно знания значений четырех параметров, которые определяют геометрию четырех структурных компонентов (в рассмотренном случае это: yA, yB, xA, xA-, однако из практических соображений удобнее выбрать уровни четырех горизонталей, например: yA, yB, yC, yD).

Аналитическое описание.

Обратимся теперь к проблеме аналитического описания звезды Шри Янтры. Пользуясь простыми уравнениями прямой и окружности для каждой пары линий в звезде, мы можем в аналитическом виде определить координаты точки их пересечения. Имея полный комплект таких уравнений, посредством последовательной подстановки (суперпозиции) координат точек пересечения из одного уравнения в другое, мы можем попытаться вывести результирующие уравнения, описывающие каждый из четырех структурных компонентов. Так, в простейшем случае компонента 1 мы имеем (см. рис. 2а) следующую систему уравнений для координат точек пересечения (не уменьшая общности, для простоты примем, что радиус внешней окружности = 1): 

 
yD = (yA'-y2)/yA'+y2; xD = Ö(1-yD2); y2 = -yA-- (y1-yA-)/(x1-xA-)*xA-; x1 = (1-y4)/(y4+1)*x4; x4 = Ö(1-y42); y4 = y3 = y1 = -yA- = yA (2)

Требование для точного построения компонента 1 выражается равенством y2=yD, которое после последовательной взаимной подстановки уравнений системы 2 преобразуется в полиномиальное уравнение вида:

 
P8,4(yA, xA')=yA8-4*yA7+4*yA6+4*yA5-10*yA4+4*yA2-4*yA+1-4*xA2+ +8*yA*xA'2-20*yA2*xA'2+20*yA4*xA'2- 8*yA5*xA2+4*yA6*xA'2+16*yA'2*xA'4 = 0 (3)

Если следовать такой процедуре и далее, то в целом звезда Шри Янтры может быть описана системой четырех подобных нелинейных алгебраических уравнений от четырех независимых переменных, которые присутствуют в уравнениях в степени от второй до шестнадцатой:

 
P8,4(yA, xA') = 0 Q14,8,4(yA, xA, yB) = 0 R16,4,6,6(yA, xA, xA', yB) = 0 S6,3,2,4(yA, xA, xA', yB) = 0 (4)

где Ai,j...(x, y,...) - обозначены полиномы i, j,...-степени от переменных x, y,..., которые включают от 16 до 512 членов.

Корни.

Из геометрической природы системы 4 следует, что она обязана иметь не менее одного действительного решения (корня) относительно переменных yA, xA, xA', yB, которое может быть вычислено с заданной точностью посредством некоторого итерационного численного метода (например, метода наикратчайшего спуска). Вычисленное нами решение имеет следующие значения:

 
yA = 0.279461220858xA = 0.259039898582xA' = 0.270779392707yB = -0.10141046595 (5)

Общее решение.

Но, с другой стороны, известно, что любой полином n-ой степени имеет ровно n решений (корней), из которых некоторые могут быть действительными, а некоторые - мнимыми. Применительно к Шри Янтре мнимые корни не имеют геометрического смысла, и они нас не интересуют. Однако система 4 может иметь и другие действительные решения, кроме найденного комплекта корней 5. Поэтому правомерен и логичен вопрос: есть ли еще другие подобные решения и, если - да, то сколько их? Иными словами, сколько существует различных расположений девяти пересекающихся треугольников в Шри Янтре?

Современная математическая теория (высшая алгебра) не дает прямого ответа на этот вопрос. Применение же итерационных численных методов для нахождения других корней требует предварительного знания границ их локализации.

Упрощенно пояснить это можно следующим образом. Геометрически систему уравнений 4 можно представить как некую сложную суперповерхность в пространстве четырех измерений (независимых переменных). Задачу поиска корней системы 4 можно интерпретировать, как нахождение всех минимумов такой поверхности. Однако в связи с высокой степенью системы уравнений 4 большинство таких минимумов (если они вообще существуют) представляют собой резкие провалы крайне малого диаметра, поэтому случайно попасть в такой провал итерационным алгоритмом практически невозможно, если только не запускать работу алгоритма с точки, расположенной непосредственно на отвесном "склоне" каждого такого провала.

Так вот, рассматриваемая задача предварительной локализации корней математически разрешима только для полинома от одной переменной. Теоретически систему 4 посредством последовательного исключения переменных (подстановка одного уравнения в следующее) можно преобразовать в полином не более чем 12544 степени от одной переменной, после чего локализовать корни и затем уже - вычислить их значения численным методом. Однако оказывается, что для этого уже на первом простейшем шаге преобразований (из трех необходимых) следует выполнить (по предварительной оценке) не менее 1011 элементарных операций, причем объем вычислений на каждом последующем шаге, по крайней мере, в 100 раз больше предыдущего. Более того, исследование полученного результирующего уравнения требует оперирования с числами, представленными с точностью не менее четырех тысяч десятичных значащих цифр. Отсюда ясно, что такая задача далеко превосходит возможности самых мощнейших земных суперкомпьютеров. Это, мягко говоря, немного озадачивает...

Вопросы. Такой необнадеживающий вывод порождает целую серию вопросов, например: какие инструментальные средства и знания использовались для воспроизведения звезды Шри Янтры на протяжении тысячелетий? или: Как вообще могла возникнуть идея о том, что девять треугольников способны пересекаться в таком многоугольнике с точным совпадением многочисленных точек пересечения? и многие другие. Для предварительного ответа на подобные вопросы, прежде всего, требуется исследование распространенности во времени и по численности различных образцов Шри Янтры. К сожалению, имеющийся в доступности материал для такого исследования более чем скуден.

Типологический анализ

Сравнивая доступные тантристские образцы Шри Янтры, можно выделить следующие три геометрические типа (рис. 4).

Примечание: Эта классификация не включает ряд образцов с очевидными ошибками типа отсутствия совмещения вершин треугольников с горизонтальными линиями.Тип I. Первый и наиболее распространенный тип I (рис. 4a) характеризуется свободным расположением компонентов 1 и 2, поскольку угловые точки C и D треугольников не лежат на внешней окружности. Вследствие этого первые два итерационных цикла перерисовок фигуры здесь не требуется, что резко снижает трудоемкость всего построения до величины: N<=2*c*d+2*d (см. формулу 1). Задача может быть упрощена еще более, если отказаться от соосности внешней и внутренней окружностей. Тогда итерационный цикл по компоненту 4 тоже исключается, и общая трудоемкость построения снижается до вполне приемлемой величины: N=2*d. Это обстоятельство, очевидно, и является главной причиной для широкого распространения образцов типа I. 

а) тип I

б) тип II

в) тип III

Рис. 4. Три типа изображения звезды Шри Янтры

Рис. 5. Традиционный метод построения звезды Шри Янтры типа I в порядке деструкции (samhara-krama). Стрелкой указано явное несовпадение точек пересечения. Рис. 6. Традиционный метод умозрительного построения звезды Шри Янтры типа I в порядке творения (srsti-krama).

Копирование.

Для этого типа изображений известно описание традиционного метода копирования [14], согласно которому (рис. 5) вертикальный диаметр внешнего круга звезды предварительного делится на 48 равных частей, после чего проводятся горизонтальные линии на уровне порядковых делений 6, 12, 17, 20, 23, 27, 30, 36, 42, после чего через полученные точки однозначно дорисовываются остальные линии. Однако этот эвристический метод даже для такого упрощенного типа изображений не обеспечивает (даже в визуальном восприятии и при малом размере фигуры) совпадение некоторых точек пересечения.

Согласно другой схеме копирования (приведенной впервые Генрихом Циммером [2]) звезда Шри Янтры образуется посредством последовательного удлинения сторон треугольников, начиная с внутреннего (рис. 6). Но возможность достижения приемлемой геометрической точности при использовании данной схемы крайне сомнительна по мнению ряда исследователей [14,15]. Действительно, в этом случае уже на первом шаге рисования число априорно выбираемых значений (координат точек) значительно больше четырех (то есть больше числа независимых параметров звезды), и на каждом последующем шаге это число увеличивается. Более того, погрешности в положении ранее выбранных точек оказывают все увеличивающийся негативный эффект при последующих построениях. Поэтому разумно допустить, что в данном случае речь шла не о практическом методе рисования, а только о ментальной процедуре визуализации в рамках вышеупомянутого правостороннего ритуала.

Отметим также, что никакие подобные инструкции не позволяют увеличивать точность конструкции в отличие от вышерассмотренного вложенного итерационного процесса.

Тип II.

Второй тип изображений звезды Шри Янтры (рис. 4б) значительно реже встречается по сравнению с первым типом, и он характеризуется тем, что точка C компонента 2 располагается на внешней окружности, в связи с чем трудоемкость его воспроизведения возрастает до величины: N=b*c*d+c*d+2*d, приближаясь вплотную к своему предельному значению (см. формулу 1). Инструкций по рисованию такого типа изображений в литературе не встречается.

Тип III.

Третий тип изображений звезды (рис. 4в) встречается крайне редко и характеризуется фиксацией точек C и D компонентов 1 и 2 на внешней окружности и использованием дуг овалов или эллипсов вместо прямых. Тем самым, можно предположить, что данные образцы представляют собой плоские проекции некоторого сферического образа, что подтверждается исполнением некоторых экземпляров таких изображений на отчетливо выпуклых поверхностях.Примечание: Образцы на выпуклых поверхностях приведены в [13].

Сферическое решение. Сферическое изображение представляется логичным реконструировать следующим образом (рис. 7). Внешняя окружность звезды формируется в виде бокового сечения несущей сферы, и ее положение может быть задано углом a по отношению к оси Z, перпендикулярной к упомянутому сечению. Стороны треугольников звезды представляют собой геодезические линии на сфере (формируются центральными сечениями сферы). При a-0 сферический образ приближается к своему линейному пределу, который обозначим IIIL (III-линейный, точное построение которого мы, собственно, и рассмотрели на рис.2). Знаменательно, что некоторые реальные образцы Шри Янтры типа II приближаются (вследствие близости точки D к внешней окружности) к этому линейному пределу сферического образа (рис. 8).

Примечание: Образец, представленный на рис. 8, взят из [16]. Из-за единичности подобного примера мы не выделили IIIL в самостоятельный исторический тип изображений. Его минимальная представимость в доступной выборке образцов может быть объяснена предельной сложностью воспроизведения, поскольку для кажущегося более сложным сферического типа III легче скрыть погрешности построения заменой эллипсов на более простые, подобные им кривые (например, овалы).  

Рис. 7. Принцип сферической конструкции звезды Шри Янтры

Свойства.

Образцы типа III и IIIL описываются полными системами из четырех уравнений от четырех неизвестных (аналогично системе 4). Поэтому их решения могут включать конечное (дискретное) множество действительных корней и, следовательно, эти образцы являются жесткими. Так, если представить звезды этого типа изготовленными из металлических, подвижно сочлененных стержней, то их нельзя деформировать, изменяя положение какого-либо стержня, поскольку переход из одного в другое из допустимых состояний возможен только скачком. С другой стороны, образцы типа I и II описываются неполными системами уравнений (два или три уравнения от четырех переменных из системы 4), поэтому они допускают непрерывное множество решений, и в упомянутой стержневой аналогии их можно непрерывно деформировать, потянув звезду за какой-нибудь стержень.

Прототип.

Таким образом, с математической точки зрения типологический ряд III, IIIL, II, I есть строгая последовательность от общего к частному. Поэтому образец типа III можно рассматривать как гипотетический оригинал, а другие типы звезды можно рассматривать как его последовательные упрощения, возникшие в результате многовекового накопления ошибок копирования с утратой исходных знаний. 

Рис. 8. Образец типа II, приближающийся к плоскому пределу звезды типа III.  

Распространение.

Это наше предположение согласуется с имеющимися данными временного и пространственного распространения доступных образцов Шри Янтры (хотя эти данные, к сожалению, из-за полного отсутствия специальных исследований охватывают достаточно небольшой и близлежащий к нам исторический отрезок времени). Так все три известных образца типа III изготовлены не позднее 17 столетия н.э. на металлических пластинах или камне (возможно с использованием достаточно точного метода штамповки с более древних матриц). С другой стороны, образцы типа II и I распределены в более поздних и примыкающих к современности временных интервалах (соответственно, в 17-19 и 18-20 столетиях). Эти изображения обычно выполнены на бумаге или ткани намного менее точным способом ручного рисования. Сравнительная представимость образцов типа III, II, I среди 30-40 доступных различных изображений Шри Янтры может быть приблизительно оценена, как 10%, 20%, 70%. Эти данные также подтверждают большее распространение более современных и более простых изображений.

Примечание: Эти три образца приведены в: [13] и [17].

Трудоемкость точного сферического воспроизведения звезды Шри Янтры неизмеримо высока в сравнении с плоскими проекциями вследствие использования кривых второй степени вместо прямых. Поэтому крайне сомнительно, что алгебраическое описание (аналогичное системе уравнений 4) может быть получено, вследствие невероятного объема и сложности необходимых алгебраических преобразований. В таком случае единственно возможным представляется вычисление отдельных корней численными методами и изображение звезды с использованием средств машинной графики.

Примечание: Как известно, эллипс можно нарисовать только поточечно, поэтому в подавляющем большинстве учебников в качестве иллюстраций приведены не собственно эллипсы, а близкие к ним овалы.

Сферическая динамика.

Как показали компьютерные исследования, найденное численное решение (один из корней) проявляет динамику (рис. 9), вызывающую аналогию с интерпретацией Шри Янтры, как схемы эволюции и инволюции вселенной. Так при увеличении угла a звезда возникает из верхней точки на сфере и распространяется по ее верхней половине до a=90¦. Затем (a=90-180¦) процесс обращается в свою симметричную противоположенность, то есть - стягивание к нижней точке на сфере. Такое свойство сферической композиции является еще одним косвенным подтверждением в пользу гипотезы о прототипе III Шри Янтры. 

Рис. 9. Динамика изменения звезды Шри Янтры типа III при изменении угла a,определяющего положение на сфере внешней окружности звезды(изображения приведены к одинаковому масштабу). 

Числовые корреляты.

Существование столь сложного для воспроизведения геометрического объекта может натолкнуть на мысль о наличии некоторых простых корреляций в структуре звезды Шри Янтры, которые позволяли в древности ее воспроизводить примитивными инструментами. Однако при исследовании звезды типа IIIL нам не удалось обнаружить соотношений, с абсолютной точностью выражающихся в целых числах, простых дробях или основных трансцендентных константах. С другой стороны, для звезд типа I и II вследствие их мягкости, если наложить соответствующие ограничения на их степени свободы (координаты точек C и D), то можно добиться наперед заданного числового соотношения между выбранными сторонами треугольников.

Примечание: Подобная попытка для отношения Lзолотое сечение¦ и числа p для звезды типа I была принята в [14], и эта работа до сих пор (1999г.) является единственным, нам известным математическим исследованием Шри Янтры. 

Заключение

В нашем исследовании мы установили, что точное построение гипотетического прототипа III Шри Янтры и даже реальных образцов типа II (не говоря уже о возникновении самой идеи о возможности подобного пересечения девяти треугольников) требует крайне высокого развития математической интуиции. Насколько мы знаем, средневековая и древняя индийская математика не обладала соответствующими знаниями даже в свой золотой период (7-12 века н.э., когда Европа находилась еще в глубокой дикости) выдающихся достижений. Одним из направлений разрешения данного парадокса является предположение о возможности существования неизвестной культурно-исторической альтернативы математическому знанию.

Мы сделали только самый первый шаг в исследовании феномена звезды Шри Янтры, исчерпав в этом все доступные нам скромные возможности. Фактически была только обнаружена и обоснована сама проблема и обозначены первоочередные принципиальные вопросы. Первейшим же последующим шагом, безусловно, должно являться широкое полевое собирание, изучение, и датировка различных изображений Шри Янтры, только результаты которого могут послужить надежным базисом для всех последующих теорий и заключений. Параллельно могут развиваться и поисковые исследования геометрических и алгебраических свойств Великой Звезды по различным направлениям, а также поиски в ее структуре космологических и фундаментальных физических коррелятов. И для плодотворного развития этого процесса, безусловно, требуется систематическое соединение усилий чистых энтузиастов, являющихся профессиональными специалистами из различных областях знания: математиков, историков, этнографов, психологов, философов и др.

Примечание: Однако здесь следует быть осторожным, поскольку при сильном желании можно обосновать все, во что искренне веришь, что с неоспоримой убедительностью доказал популярный российский историк А.Т.Фоменко (к сожалению, он почему-то постеснялся обнародовать самый неоспоримый исторический подлог - сдвиг на 35-40 лет Истории XX века, в результате которого стало две мировых войны, два геноцида в России и т.п.).

Литература

  1. J.Woodroffe. Principles of Tantra. London, 1914-1916.
  2. H.Zimmer. Kunstform und Yoga im indishen Kultbild. Berlin. 1926.
  3. Gandharva Tantra. Ed. R. C. Kak and H. Shastri, Srinagar, 1934.
  4. Tantraraja Tantra. Ed. J. Woodroffe, Madras, 1954.
  5. Kamakalarilasa. Ed. J. Woodroffe, Madras, 1953.
  6. Soundarya-lahari. Ed. Anantakrsna Sastrt, Madras, 1957.
  7. Sakta Upanisads. Tr. A. G. Krishna Warrier, Madras, 1967.
  8. Nityagoda-sikarnava. With com. Sivananda, Banaras, 1968.
  9. Bhavanopanipad. Tr. S. Mitra, Madras, 1976.
  10. Ajit Mookerjee. Tantra art. London, 1966.
  11. J. Casparic. Selected inscriptions from seventh to ninth century. Bundung, 1956 (p. 30, 34, 41).
  12. Atharva Veda, X, v. 31-4, tr. S.Shamasastry in: The Origin of the Devanagari Alphabets, Varanasi, 1973.
  13. Madhu Khanna: Yantra: The tantric symbol of cosmic unity. London, 1975.
  14. Nicolas J.Bolton, D.Nicol Macleod. The geometry of the SriYantra, Religion, London, v. 7, N 1, 1977.
  15. P.H.Pott. Yoga and Yantra. Nijhoff, 1966.
  16. Philip Rawson, Tantra. The Indian cult of ecstasy. London, 1973.
  17. Nic Douglas. Tantra yoga. New Delhi, 1971.

Дополнение

Спустя три года после появления первой публикации о Шри Янтре в Индии, в результате ряда настойчивых попыток в 1987 году удалось опубликовать одну сокращенную научную статью на русском языке в сборнике LДревний и средневековый Восток¦. Кроме того, в номере 11 журнала LНаука и жизнь¦ за 1987 год появилась популярная публикация о загадках геометрии звезды Шри Янтры. Эта статья вызвала живейший интерес читателей, и на нее поступило более сотни откликов, в которых предлагались различные собственные варианты построения. На основе этой корреспонденции была подготовлена вторая обобщающая статья, которая после трехгодичных проволочек в редакции того же журнала так и не увидела свет. Тем не менее, мы глубоко признательны многим читателям за вложенный в исследование Шри Янтры труд, силы и личное время и теперь, наконец-то, с задержкой на двенадцать лет, мы имеем благодатную возможность отплатить им взаимностью и обнародовать наиболее интересные из присланных тогда решений.

Семантические корреляты.

Одним из направлений поисков читателей были усилия найти астрономические и физические корреляты в Шри Янтре с учетом ее космогонической символики. Так словацкий инженер Владимир Сагмейстер из Братиславы прочитал два обрамляющих лотоса, как указание увеличить звезду Шри Янтры в 8 и 16 раз. При этом он обнаружил хорошее соответствие между концентрическими уровнями построенных им в таком соотношении трех звезд Шри Янтры и орбитами планет Солнечной системы (рис. 10, где приведены первые две из трех рассмотренных им звезд) с расхождением от реальных средних диаметров орбит, составляющим в среднем 1.5%. Дополнительно в построении имеются окружности, соответствующие границам пояса астероидов и пяти трансурановым планетам. 

Рис. 10. Астрономическая интерпретация В.Сагмейстера

К.х.н. Г.П.Овсяников из Саратова провел детальное исследование (для различных мягких вариантов звезды) геометрических коррелятов и обнаружил множество впечатляющих соотношений, близких к числу p, основанию натуральных логарифмов, базисным параметрам лунно-солнечного календаря и астрономическим циклам. В частности, он предложил соотношение yB=yA/e, которое отличается от точного значения всего на 1.3%. По полученным им результатам была подготовлена специальная подробная статья для того же журнала, которой также не суждено было пробиться в печать.

Итеративное черчение.

Вторым направлением исследований было применение итеративно-чертежной техники для получения максимально точных изображений большого размера.

Абсолютный рекорд в масштабе изображений (при упрощающем отказе от соосности внешней и внутренней окружностей) принадлежит рабочему из г.Батайска Ростовской обл. Н.И.Росохатому, который при диаметре 1 метр добился точности построения в 2.01% с положением горизонталей на уровне отметок 131, 273, 365, 410, 463, 533, 610, 711, 884 мм, затратив на итеративные перестроения сутки непрерывного труда, что может служить начальной точкой отсчета для оценки необходимых временных затрат на итеративное черчение.

Примечание: Здесь и далее точность построения оценивалась по максимальной погрешности (несовпадение в пересечениях линий) в трех критических точках (A, A-, B) и выражалась в процентах от радиуса R внешней окружности. Здесь мы решили не учитывать погрешность в точке E (вследствие несоосности окружностей), поскольку она обычно подавляюще превосходила остальные погрешности и составляла 3-5%. Проверки выполнялись на компьютерной программе, поэтому приводимые значения могут отличаться от заявленных самими авторами.

Далее, инженер из Ленинграда С.В.Морозов пришел к выводу, что обычные чертежные инструменты не позволяют производить достаточно точные построения при диаметре более 490 мм. В результате для диаметра 490 мм он получил расположение горизонталей на уровне отметок 57, 131, 178, 202, 229, 266, 307, 360, 443 мм с высокой точностью построения 0.667%. Он же подметил следующую эмпирическую закономерность: 57+443=500, 131+360=491, 178+307=485, 229+266=495, то есть сумма ординат противолежащих горизонталей с точностью до 2% близка к величине радиуса внешней окружности.

Продолжая данное направление, В.Э.Смирнов из Уфы также предположил наличие некоторых простых "магических чисел" или соотношений в структуре звезды, позволявших в древности ее воспроизводить без особых проблем. В качестве возможного приближения он предложил следующий ряд: R:yC:yA:yB = 146:116:41:15, что обеспечивает лучшую для данного направления точность построения около 0.41%.

Аналитико-расчетное направление.

Третье направление составляли аналитическое расчеты геометрии звезды. Здесь В.Э.Смирнов из Уфы по составленной им фортрановской программе и двух своих геометрических находок (см. ниже) добился точности построения в 0.046% при положении четырех горизонталей на уровне значений: yA=0.281, yD=0.8427023, yC=0.7966(6), yB=-0.1024091. 

Рис. 11. Метод В.А.Щекоткова и С.Л.Дидыка

Далее В.Э.Смирнов посредством расчетов на калькуляторе с построением графиков изменения координат в зависимости от величины yA показал невозможность выполнения условия соосности внешней и внутренней окружностей и совпадения угловой точки центрального треугольника с точкой пересечения близлежащих прямых, хотя разность между соответствующими корнями оказалась достаточно мала DyA=0.001.

Особо в этом направлении следует отметить академически тщательно выполненную работу ветерана Великой Отечественной войны, ст.н.с. Сухумского физико-технического института, к.т.н. Е.С.Ямпольского, который аналитически вывел формулы для всех горизонталей Шри Янтры и в результате расчетов на обычном ручном калькуляторе с использованием метода линейной интерполяции получил значения, только в шестом знаке отличающиеся от значений, вычисленных на мощной ЭВМ.

Эвристические алгоритмы.

Наиболее представительным направлением исследований читателей стал поиск эвристических приемов построения с использованием циркуля и линейки.

Один из элегантных приемов определения положения точек C и D (при котором точность построения составляет 0.73%) независимо предложили регулировщик проводной связи В.А.Щекотков из пос. Электроизолятор Моск.обл. и студент Харьковского института радиоэлектроники С.Л.Дидык, на основе использования двух вспомогательных секущих, проходящих через точки пересечения больших треугольников (рис. 11).

Секущую для точки D обнаружил также вышеупомянутый В.Э.Смирнов из Уфы, при этом он доказал из подобия треугольников 1-3-A- и 2-D-A-, что положение точки D получается в этом случае с абсолютной точностью (рис. 12). При этом итерационный цикл перестроения компонента 1 становится ненужным, и предложенная формула 1 вычисления трудоемкости построения звезды незначительно упрощается: N=bcd+cd+d. Попутно В.Э.Смирнов обнаружил элегантный способ ускоренного итеративного построения компонента 2 (см. также рис. 12).

Все это является дополнительным косвенным подтверждением правильности основного направления наших рассуждений, по крайней мере, относительно приоритетности (или большей близости к прототипу) звезд типа II по сравнению со звездами типа I.
Рис. 12. Метод В.Э.Смирнова Рис. 13. Метод Г.П.Минаева

К числу удачных относится и метод каменщика из г.Сумы Г.П.Минаева, (точность=1.6%) с использованием следующих соотношений между длинами L отрезков: L(2,3)=L(3,1), L(5,C)=L(3,D)/2. Он же предложил и два наиболее удачных способа определения параметра yA: yA=R/3.6 и xS=R*0.75 (S - точка пересечения больших треугольников), отличающихся от точных значений на 0.6% и 0.2% (рис.13).

Рис. 14. Предельная форма звезды (памяти Индиры Ганди)

Большинство читателей упростили себе задачу, игнорируя трудное для выполнение условие соосности внешней и внутренней окружности, сократив трудоемкость своей задачи до вполне приемлемой величины N=bc+c (с учетом доказательства В.Э. Смирнова), и получили за счет этого свободу выбора значения yA.

Это позволило вышеупомянутым Г.П.Овсяникову и В.А.Щекоткову проследить изменение геометрии звезды при изменении yA и обнаружить предельную форму звезды Шри Янтры при yA=0.1355, касающуюся внешней окружности своими 12 угловыми точками (рис. 14, при дальнейшем уменьшении yA треугольники звезды выходят за границы внешнего круга). Г.П.Овсянников и В.А.Щекотков по приоритету первооткрывателей посвятили этот вариант звезды памяти Индиры Ганди. В этой связи примечательно, что самое первое сообщение о первоначальных результатах математического исследования Шри Янтры появилась в сентябрьском номере 21 журнала Soviet Land (Родина) за 1984 год, который содержал и экстренный выпуск о трагической гибели великой дочери великого индийского народа.
Рис. 15. Метод В.Н.Зайцева Рис. 16. Метод А.М.Харламова.

Многие авторы в своих работах исходили из содержательных соображений, используя в качестве опорных значений различные структурные компоненты Шри Янтры: лепестки окружающих лотосов, радиус R внешней окружности и др. Первые достаточно точные и оригинальные решения в этом направлении предложили В.Н.Зайцев из Оренбургской области (точность 0.897%, рис. 15) и А.М.Харламов из Евпатории (точность 1.27%, рис. 16).

Всю полученную корреспонденцию завершало письмо от 25.9.89 В.Г.Шувалова из г.Ефремов Тульской области, который предложил крайне интересное развитие этого направления с опорой на 16-лепестковый лотос, который делит окружность на 32 равные части.

Он начал свое построение с произвольного квадрата, на котором построил описанную и вписанную окружности (рис. 17). Затем простым чертежным приемом он дорисовал еще 7 промежуточных квадрата, тем самым получив 32 деления окружности. Далее по полученным точкам были найдены и проведены 4 опорные секущие (на рис.17 они обозначены цифрами 1-4), которые и определили положение базовых горизонталей для точек A,C,D,B. Точность полученного таким методом построения составила 0.135%, что находится на уровне лучших результатов, достигнутых итеративным черчением! Далее, проведя секущую через вершины двух квадратов со смещением на 6 делений (на рис. 17 она отмечена цифрой 5), по касательной к ней В.Г.Шувалов построил окружность для внутреннего 8-лепесткового лотоса и обнаружил, что на характерные точки этой окружности проецируются с хорошей точностью большинство сторон треугольников звезды.
Рис. 17. Метод В.Г.Шувалова Рис. 18. Метод П.К.Радха

Другие подходы.

Следует отметить, что предположение о существовании прототипа III Шри Янтры, хотя и представляется нам достаточно правдоподобным и обоснованном в первом приближении, но не является неоспоримо доказанным, поэтому оно не отменяет других предположений. Напомним, что жесткий тип звезды может быть получен наложением на ее степени свободы четырех ограничений различного рода (согласно выше выявленной системе четырех параметров звезды Шри Янтры). Мы, исходя из представляющихся нам правдоподобными рассуждений, наложили одну четверку ограничений, на можно, безусловно, найти правдоподобные основания и для наложения других четверок ограничений, в том числе и в рамках звезд типа I и II. Свобода исследователей здесь не может быть ограничена до момента нахождения неоспоримых доказательств относительно какой-либо одной альтернативы. И в этом плане очень интересной представляется работа преподавателя математики П.К.Ратха из индийского города Роуркела в штате Орисса, который построил звезду Шри Янтры на основе пентаграммы (рис. 18), в которой с достаточной точностью выполняются пять наперед заданных независимых условий: точка С, угол a=30¦, горизонтали a и b и соосность окружностей (правда, этому способствовал отказ от условия симметричности двух больших треугольников). 

Заключение.

Как свидетельствуют вышерассмотренные результаты, существенное продвижение в разгадке тайн Шри Янтры возможно только при участии в этом процессе настойчивых и квалифицированных энтузиастов, способных к разностороннему и свободному творческому мышлению с выдвижением и всесторонней верификацией множества безумных идей. 

Рейтинг SunHome.ru Яндекс.Метрика