ГДЗ математика 5 класс С.М. Никольский и др.

3. Занимательные задачи

№301. а) 90 км б) 2 мин.
№302. а) Представим искомое двузначное число в виде ab–a•10+b. Если приписать цифру 5 слева, то получим число 5ab, справа — аb5. В сумме числа составляют 912.
5•100+а•10+6+а•100+b•10+5=912 <=>(5+а)•100+(а+b)•10+(b+5)=912 =>b+5=12
a+5=8=>b=7, a=3 a+b=10 Следовательно, искомое число — 37. Ответ: 37.
б) Представим искомое двузначное число в виде ab=10а+b. Если приписать цифру 1 слева, то получим число 1ab, справа — ab1. В сумме числа составляют 926.
1•100+а•10+b+а•100+b•10+1=926<=>(a+1)•100+(а+b)•10+(b+1)=926=>b+1=6, а+b=12, а+1=8<=>b=5, а=7 Следовательно, искомое число — 75. Ответ: 75.
в) Представим искомое трехзначное число в виде аbс = а•100+b•10+с. Если приписать цифру 2 слева, то получим число 2abc, справа — abc2. В сумме они составляют 5929.
2•1000+а•100+b•10+х+a•1000+b•100+х•10+2=5929<=>(2+a)•1000+(а+b)•100+(b+x)•10+(х+2)=5929=>х+2=9,
b+х=12, а+b=8, а+2=5<=>x=7, b+7=12, а+b=8, а=3<=>х=7, b=5, а=3
Следовательно, искомое число — 357. Ответ: 357.
г) Представим искомое трехзначное число в виде abc=а•100+b•10+с. Если приписать цифру 7 слева, то получим число 7abc, справа — abc7. В сумме они составляют 8360.
7•1000+а•100+b•10+х+а•1000+b•100+х•10+7=8360<=>(а+7)•1000+(а+b)•100+(b+х)•10+(x+7)=8360=>х+7=10,
b+х=5, а+b=3, а+7=8<=>х=3, b+3=5, а+b=3, а=1<=>х=3, b=2, а=1 Следовательно, искомое число — 123. Ответ: 123.

№303. а) Представим искомое двузначное число в виде ab. Если приписать цифру 5 слева, то получим число 5аb, справа — аb5. Их разность равна 234. Имеем две возможности. Либо число 5ab больше аb5, либо число аb5 больше 5аb. 1 случай 5ab>аb5
5•100+а•10+b–а•100–10•b–5=234<=>5•100+а•10+b=а•100+10•b+5+2•100+3•10+4<=>5•100+а•10+b=
=(а+2)•100+(b+3)•10+9=>b=9, а+10=b+3=>6=9, а+10=9+3=>b=9, а=2 Следовательно, искомое число — 29.
II случай ab5>5аb.
а•100+b•10+5–5•100–a•10–b=234<=>а•100+b•10+5=5•100+а•10+b+2•100+3•10+4<=>а•100+b•10+5=
=7•100+(а+3)•10+b+4=>b+4=5, а+3=b+10, а–1=7=>b=1, а=8 Следовательно, искомое число — 81. Ответ: 29 или 81.
б) Представим искомое двузначное число в виде ab. Если приписать цифру 6 слева, то получим число 6аb, справа — аb6. Их разность равна 162. Имеем две возможности. Либо число 6ab больше аb6, либо аb6 больше 6аb.
1 случай 6аb>аb6
6•100+а•10+b–а•100–b•10–6=162<=>6•100+а•10+b=а•100+b•10+6+1•100+6•10+2<=>6•100+а•10+b=
=(а+1)•100+(6+b)•10+8=>b=8, а+10=b+6, 6–1=а+1=>b=8, а=4 Следовательно, искомое число — 48.
II случай ab6 > 6аb
а•100+b•10+6–6•100–а•10–b=162<=>а•100+b•10+6= 6•100+а•10+b+1•100+6•10+2<=>а•100+b•10+6=
=7•100+(а+6)•10+(b+2)=>b+2=6, b+10=а+6, а–1=7=>b=4, а=8 Следовательно, искомое число — 84. Ответ: 48 или 84.
в) Представим искомое трехзначное число в виде abc. Если приписать цифру 9 слева, то получим число 9abc, справа — abc9. Их разность составляет 2214. Имеем две возможности.
Либо 9abc больше abc9, либо abc9 больше 9аbс.
1 случай 9abc>abc9
9•1000+a•100+b•10+x–а•1000–b•100–x•10–9=2214<=>9•1000+а•100+b•10+x=2•1000+2•100+1•10+4+a•1000+
+b •100+х•10+9<=>9•1000+а•100+b•10+х=(а+2)•1000+(b+2)•100+(х+1)•100+(х+2)+3<=>х=3, b=х+2, а=b+2, а+2=9=>х=3, b=5, а=7 Следовательно, искомое число — 753.
II случай abc9>9аbс
а•1000+b•100+х•10+9–9•1000–а•100–b•10–x=2214 <=>а•1000+b•100+x•10+9=9•1000+а•100+b•10+x+2•1000+ +2•100+1•100+4<=>а•1000+b•100+х•10+9=1•10000+1•1000+(а+ 2)•100+(b+ 1)•10+(x+ 4)
Получили пятизначное число, следовательно, abc9<9abc и имеем только один случай. Ответ: 753.
г) Представим искомое трехзначное число в виде abc. Если приписать цифру 9 слева, то получим число 9abc, справа — abc9. Их разность равна 639. Имеем две возможности. Или 9abc больше abc9, или abc9 больше 9abc.
I случай 9abc> abc9
9•1000+а•100+b•10+х–а•1000–b•100–х•10-9=639<=>9•1000+а•100+b•10+х=а•1000+b•100+х•10+9+6•100+3•10+9<=>
9•1000+а•100+b•10+x=а•100+(6+b)•100+(х+4)•10+8=> х=8, х+4=b+10, а–1=b+6, а=9=>х=8, b=2, а=9
Следовательно, искомое число — 928.
II случай
а•1000+b•100+х•10+9–9•1000–а•100–b•10–х=639<=>а•1000+b•100+х•10+9=9•1000+а•100+b•10+х+6•100+3•10+9 а•1000+b•100+х•10+9=9•1000+(а+6)•100+(b+3)•10+(х+9)=>х=0, b+3=10+х, а+6=b, a=9 => х=0, b=7, а=1, а=9 — противоречие, т.к. 1≠9. Ответ: 928.

№304. а) Разделим весть путь на 5 равных частей. Каждая часть соответствует участку пути, на котором одно из колес было запасным. Соответственно каждое колесо проехало 4 части от всего пути.
1) 4000:5=800 (км) — приходится на 1 часть; 2) 800•4=3200 (км) — проехало каждое колесо. Ответ: 3200 км.
б) Разделим весть путь на 5 равных частей. Каждая часть соответствует участку пути, на котором одно из колес было запасным. Соответственно каждое из колес проехало 4 части от всего пути.
1) 4000:4=1000 (км) — приходится на 1 часть; 2) 1000•5=5000 (км) — проехал автомобиль. Ответ: 5000 км. 305-307

№308. а) Пусть Наде—х лет. Тогда Вере (28–х) лет, а Любе (23–х) лет. Всего Наде, Вере и Любе (х+(28–х)+(23–х)) лет. По условию всем троим 38 лет. Найдем х.
1) х+(28–х)+(23–х)=38<=>х+28–х+23–х=38<=>51–х=38<=>х=13 (л) — возраст Нади;
2) 28–13=15 (л) — возраст Веры; 3) 23–13=10 (л) — возраст Любы.   Ответ: 15; 13; 10.
б) Пусть золотых медалей было х. Тогда бронзовых было (126–х) штук, серебряных было (149–х) штук. Всего было (х+(126–х)+(149–х)) медалей.   По условию спортсмены получили 195 медалей. Найдем х.
1) х+(126–х)+(149–х)=195<=>х+126–x+149–х=195<=>275–х=195<=>х=80 (м) — были золотыми;
2) 126–80=46 (м) — были бронзбвыми;   3) 149–80=69 (м) — были серебряными.   Ответ: 80; 69; 46.

№309. а) Некоторые ученики коллекционируют и марки, и монеты.
1) 11–5=6 (чел.) — коллекционируют только марки; 2) 11–8=3 (чел.) — коллекционируют только монеты.
Ответ: 6 человек; 3 человека.
б) 38–24–15=1 (чел.) — занимается и в хоре, и в лыжной секции. Ответ: 1 человек.
в) 1) 12+10–4=18 (уч) — участвовали в конкурсах 2) 35–18=17 (уч) — не участвовали в конкурсах Ответ: 17 уч.
г) 1) 23+18–10=31 (уч) — любит кошек или собак; 2) 32–31=1 (уч) — не любит ни кошек, ни собак. Ответ: 1 уч.
д) 1) 30–5=25 (уч) — ходили на экскурсию или в кино; 2) 25–23=2 (уч) — не ходили на экскурсию;
3) 25–21=4 (уч) — не ходили в кино; 4) 25–2–4=19 (уч) — ходили и на экскурсию, и в кино. Ответ: 19 учащихся.
е) 1) 30–2=28 (уч) — ходили на экскурсию или в кино; 2) 28–23+6=11 (уч) — ходили в кино. Ответ: 11 учащихся.

№310. Один арбуз.
№311.

311 Пронумерованные спички нужно переложить на места, отмеченные пунктиром.

312-315

В точку В можно прийти 35+21=56 способами. Ответ: 56 способов.

№316. Посчитаем количество способов, которыми можно прийти каждую букву, запишем это число в клетку с буквой.

К₁

О₂

Л₃

Я₄

К₁

О₂

Л₃

Я₄

Всего 8+8=16 способов прочитать имя. Ответ: 16 способов.

№317. Посчитать количество способов, которыми можно прийти в ка– ждую букву, запишем число способов в клетку с буквой.

М		Р₂		Р₆		Т₁₈
	А₂		Ш₆		У₁₈
М		Р₄		Р₁₂		Т₃₆
	А₂		Ш₆		У₁₈
М		Р₂		Р₆		Т₁₈

Всего 18+36+18=72 способа. Ответ: 72 способа. 318-319

Для каждого заданного натурального числа, начиная с 79, мы будем иметь новое заполнение клеток. Натуральных чисел бесконечно много, следовательно, задача имеет бесконечно много решений.

№320. а) Набрать воды в сосуд вместимостью 8 л. После этого перелить воду в сосуд вместимостью 5 л. В первом сосуде останется 8–5=3 л воды.
б) Набрать воды в сосуд вместимостью 5 л — первый сосуд. Перелить всю воду в сосуд вместимостью 8 л — второй сосуд, в нем останется место еще на 8–5=3 л воды.
Опять набрать воды в первый сосуд, после этого перелить во второй. В первом сосуде останется 5–3=2 л воды.
После этого вылить всю воду из второго сосуда, а из первого перелить во второй 2 л.
Набрать 5 л воды в первый сосуд и перелить ее во второй. В итоге во втором сосуде будет 5+2=7 л воды.

№321. а) Взвесим произвольно 2 монеты. Если их вес окажется равным, то третья монета будет фальшивой. Если же одна монета легче другой, то эта монета будет фальшивой.
б) Разобьем все монеты на три кучи по 3 монеты в каждой. Взвесим первую и вторую кучи. Возможно 2 варианта. Либо весь кусочек окажется равным, либо одна из куч будет легче.
Если вес первой и второй куч оказался равным, то фальшивая монета находится в третьей куче.
Если одна из куч была легче, то фальшивая монета в ней.
Таким образом, за одно взвешивание мы можем узнать, в какой из трех куч находится фальшивая монета. В этой куче будет три монеты. Еще за одно взвешивание мы сможем определить, какая именно монета фальшивая. Процедура описана в пункте а).
в) Разделим все монеты на три кучи по 9 монет в каждой. Взвесим первую и вторую кучи. Если их вес окажется равным, то фальшивая монета находится в третьей куче. Если же одна из куч окажется легче, то фальшивая монета находится в ней. Таким образом, за 1 взвешивание мы узнали, в какой куче находится фальшивая монета. У нас осталось 2 взвешивания и 9 монет. Далее применяем рассуждения пункта б).

№322. 5+(5–5)=5 5•5+5=25+5=30 5•(5+5)=5•10=50
№323. 7 частей.
№324. 8 бревен по 4 м и 2 бревна по 5 м
№325. Нужно сделать 5 распилов.
1) 1мин 30см=90с; 2) 90•5=450с — займет вся работа; 3) 450с=7мин 30с. Ответ: 7мин 30сек.
№326. Количество этажей между 1 и 3 и 3 и 5 этажами равное, следовательно, лифт тратит одинаковое время на подъем. 1) 2•6=12 (с) — понадобится лифту. Ответ: 12 секунд.

№327. Количество способов соответствует количеству монет достоинством в 5 руб.
I способ — 0 монет по 5 руб., 28 монет по 1 руб.
II способ — 1 монета по 5 руб., 23 монеты по 1 руб.
III способ — 2 монеты по 5 руб., 18 монет по 1 руб.
IV способ — 3 монеты по 5 руб., 13 монет по 1 руб.
V способ — 4 монеты по 5 руб., 8 монет по 1 руб.
VI способ — 5 монет по 5 руб., 3 монеты по 1 руб.
Ответ: 6 способов.

№328. 11 способов, рассуждения аналогичны номеру 327.

№329. Пусть у бездельника было х копеек. После первого перехода у него осталось (2•х–24) копейки, после второго — (2•(2•х–24)–24) копейки, после третьего — (2•(2•(2•х–24)–24)–24) копейки. По условию, после третьего перехода у него стало 0 копеек.
2•(2•(2х–24)–24)–24=0<=>2•(4х–48–24)–24=0<=>8х–96–48–24=0<=>8х=168<=>x=21 Ответ: 21 копейка.

№330. 1) 24:3=8 (ябл.) — стало у каждого брата;
2) 8 • 2=16 (ябл.) — было у старшего брата до того, как он делился яблоками;
3) 8 : 2 = 4 (ябл.) — по столько дал старший брат младшему и среднему;
4) 8 – 4 = 4 (ябл.) — по столько было у среднего и младшего до того, как делился старший брат;
5) 4 • 2 = 8 (ябл.) — было у среднего брата до того, как он делился яблоками;
6) 4 : 2 = 2 (ябл.) — дал средний брат старшему и младшему;
7) 16 – 2= 14 (ябл.) — было у старшего брата до того, как делился средний;
8) 4 – 2 = 2 (ябл.) — было у младшего брата до того, как делился средний;
9) 2 • 2 = 4 (ябл.) — было у младшего брата изначально;
10) 2 : 2 = 1 (ябл.) — дал младший брат старшему и среднему;
11) 14–1 = 13 (ябл.) — было у старшего изначально;
12) 8 – 1 = 7 (ябл.) — было у среднего брата изначально.
Отеет: 4; 7; 13.

№331. 1) 1+2+3+...+14=105 (р.) — заплатил бедняк богачу;
2) 1+2+2²+2³+... +2¹³=1+2+4+8+16+...+8192=16383 коп. = 163 руб. 83 коп. — заплатил богач бедняку;
3) 163 руб. 83 коп. – 105 руб. = 58 руб. 83 коп. — потерял богач. Ответ: 58 руб. 83 коп. потерял богач.

ГЛАВА 2. ИЗМЕРЕНИЕ ВЕЛИЧИН

2.1. Прямая. Луч. Отрезок

№332. Поверхность воды.
№333. Провода.
№334. а) нет; б) одну; в) пересекаться, быть параллельными; г) прямые, которые не пересекаются; д) часть прямой, ограниченную одной точкой; е) часть прямой, ограниченную двумя точками.
№335. С А В Прямая АВ, лучи АВ и АС.
№336. Устная.
№337. а и b, к и m — параллельные прямые.
№338. Устная.
№339. C А В
№340. Бесконечно много.
341-342

№343. На двечасти
№344. а) на четыре части б) на три части
№345. На 4, 6 или 7 частей.
№346. Бесконечно много.
346

№347. М А В N 4 луча: AM, BM, AN, BN
№348. а) 6 лучей б) 10 лучей в) 200 лучей
№349. 4 луча
№350. 6 лучей: AM, AN, BM, BN, CM, CN
№351. 3 отрезка: MN, NK, MK
№352. А В С D Отрезки АВ, ВС, CD, AC, AD, BD.
353

2.2. Измерение отрезков

354-355

№356. Единичный отрезок.
№357. Длина отрезка.
358-365

№366. Устный.
№367. а) длина 20см ширина 17см б) длина 21см ширина 18см в) длина 21см ширина 17см
№368. Устный.
№369. а) АВ=2см CD=3см EF=2см б) АВ=3см CD=4см EF=3см в) АВ=3см CD=3см EF=3см
370 а) 36см б) 37см в) 37см

2.3. Метрические единицы длины

№371. Метр.
№372. Дециметр, сантиметр, миллиметр.
№373. Километр.

№374. а) в 10 раз б) в 10 раз
в) 1) в 10 раз 2) в 100 раз 3) в 1000 раз 4) в 10000000 раз 5) в 100000 раз 6) в 1000000 раз
7) в 10 раз 8) в 100 раз 9) в 1000000 раз 10) в 10000 раз 11) в 100000 раз 12) в 100 раз
13) в 100000 раз 14) в 1000 раз 15) в 10000 раз 16) в 100 раз

№375. а) 1км=1000м б) 17км=17000м в) 10дм=1м   г) 270дм = 27м д) 9700см=97м е) 27000мм=27м
№376. а) 1м=10дм б) 27м=270дм в) 1км=10000дм г) 17км=170000дм д) 30 см = 3 дм е) 9700см=970дм
№377. а) 1м=100см б) 27м=2700см в) 1км=100000см г) 17км=1700000см   д) 9700мм=970см е) 27000мм=2700см
№378. а) 9см=90мм б) 27см=270мм в) 10дм=1000мм г) 270дм=27000мм   д) 1м=1000мм е) 17м=17000мм

№379. а) 1937мм = 1м 9дм 3см 7мм б) 2079мм = 2м 0дм 7см 9мм = 2м 7см 9мм в) 12938мм = 12м 9дм 3см 8мм
г) 179см = 1м 7дм 9см д) 92703см = 9км 270м 0дм 3см = 9км 270м 3см е) 62074дм = 6км 207м 4дм

№380. а) 1м 3дм 8см 4мм = 1384мм б) 2м 7см 9мм = 2м 0дм 7см 9мм = 2079мм в) 23м 7дм 3см 6мм = 23736мм
г) 4м 7дм 6см = 4м 7дм 6см 0мм = 4760мм д) 567м 1см = 567м 0дм 1см 0мм = 567010мм
е) 2км 504м 4дм = 2км 504м 4дм 0см 0мм = 2504400мм

№381. а) 7дм 6см ≈ 7дм с недостатком 7дм 6см ≈ 8дм с избытком и с округлением
б) 8дм 4см ≈ 8дм с недостатком и с округлением   8дм 4см ≈ 9дм с избытком
в) 3дм 5см ≈ 3дм с недостатком   3дм 5см ≈ 4дм с избытком и с округлением
г) 1м 8дм 3см ≈ 1м 8дм с недостатком и с округлением   1м 8дм 3см ≈ 1 м 9 дм с избытком
д) 4м 5дм 6см ≈ 4м 5дм с недостатком 4м 5дм 6см ≈ 4м 6дм с избытком и с округлением
е) 7м 3дм 5см ≈ 7м 3дм с недостатком 7м Здм 5см ≈ 7м 4дм с избытком и с округлением
ж) 29см = 2дм 9см ≈ 2 дм с недостатком 29см = 2дм 9см ≈ 3дм с избытком и с округлением
з) 41см = 4дм 1см ≈ 4 дм с недостатком и с округлением 41см = 4дм 1см ≈ 5 дм с избытком
и) 235см = 23дм 5см ≈ 23дм с недостатком 235см = 23дм 5см ≈ 24дм с избытком и с округлением
382

2.4. Представление натуральных чисел на координатном луче

№383. Отрезок, длину которого принимают за единицу.
№384. Задаем луч, выходящий из точки О в направлении, отмеченном стрелкой. На луче от начальной точки О откладываем один за другим несколько отрезков единичной длины. Считаем, что точка О представляет число нуль, правый конец первого единичного отрезка — число 1, правый конец второго единичного отрезка — число 2 и т.д. Мы построили координатный луч
№385. Из двух натуральных чисел больше то, которое на координатном луче находится правее.
№386. А(2), ОА=2; В(3), ОВ=3; С(4), ОС=4; D(5), OD=5; E(6), OE=6

№388. а) В б) А

№389. а) правее: 8, 9, 10 левее: 6, 5, 4 6) правее: 14, 15, 16 левее: 2, 11, 10
в) правее: 101, 102, 103 левее: 699, 98, 97 г) правее: 999, 1000, 1001 левее: 997, 996, 995

№390. а) 8 б) 9 в) 29
№391. а) А(17), В(18); б) С(179), D(180); в) К(1999), L(2000); г) М(а), N(a+1) .
№392. а) а)7 б)8 б) а)6 б)7
№393. а) Да, нужно сделать 3 прыжка вправо и потом 3 прыжка влево, б) Да, нужно сделать 2 прыжка вправо и один прыжок влево.

2.5. Окружность и круг. Сфера и шар

№394. а) бублик б) увеличительное стекло
№395. О — центр окружности OL — радиус окружности АВ — диаметр окружности
№396. а) футбольный мяч б) земля
№397. «Сфериком»
№398. Окружность на рисунке 2, круг на рисунке 4.
399-400

№401. Устная.
№402. Устная.
№403. Устная.
№404. а) Вне окружности — точки, удаленные от ее центра на расстояние больше радиуса.
б) Внутри окружности — точки, удаленные от ее центра на расстояние меньше радиуса.
№405. К и L — две такие точки
405

№406. а) Вне сферы расположены точки, удаленные от ее центра на расстояние больше радиуса.
б) Вне сферы расположены точки, удаленные от ее центра на расстояние меньше радиуса.

№407. АВ = AM=AN= ВМ= BN\ АК = КВ
nikolsky-407-410

2.6. Углы. Измерение углов

№411. Углом называется часть плоскости, заключенная между двумя лучами, выходящими из одной точки. Общую точку называют вершиной угла, лучи — сторонами угла.
№412. а) Углы, которые совмещаются при наложении.
б) Угол, градусная мера которого равна 180°, называют развернутым. Угол, градусная мера которого равна 90°, называют прямым.
Угол, меньший прямого, называется острым.
Угол, больший прямого, но меньший развернутого, называют тупым.
№413. Развернутый угол содержит 180°. Прямой угол содержит 90°.
№414. Прямые, пересекающиеся под прямым углом.
№415. Острые углы: / MNK, / ABC. Прямые углы: / PQR, / XYZ. Тупые углы: / DEF, / GOH.
№416. / AOB=45°, / CDE=90°, / MNK=115°, / TSR=40°. 417

№418. a) 90° б) 180° в) 90° г) 180° д) 45° e) 90° ж) 180° з) 135°
№419.

б) за 6 ч — на 180° за 1 ч — на 15° за 3 ч — на 90° за 4 ч — на 105°
в) за 30 мин — на 180º за 10 мин — на 30° за 15 мин — на 90° за 1 мин — на 3°

№420. 1°=6'; 7°=420'; 10°=600'; 30°=1800'; 90°=5400'; 180°=10800'.
№421. 1'=60°; 1°=60’=3600"; 1°1'=61’=3660"; 4°3'=243'=14580"; 10°=600'=36000"; 10'=600".

№422. а) 3712'+5°7'19"= 42°19'19" б) 49'33"+24'28"=73'61"=74'1"=1°14'1" в) 5°27'+3°56'=8°83'=9°23'
г) 4°17'29"+1°45'38"=5°62'67"=5°63’7"=6°3'7" д) 23'52"+8"=23'60"=24' е) 89°59'59"+1"=89°59'60"=89°60'=90°

№423. а) 17°–29’=16°60'–29'=16°31' б) 9°31'–2°58'=8°91'–2°58'=6°33' в) 5'47"–3'56"=4'107"–3'56"=1'51"
г) 4°37'19"–3°39'58"=4°36'79"–3°39'58"=3°96'79"–3°39'58"=57'21" д) 23'5"–8"=22'65"–8"=22'57"
е) 1°–1"=60'–1"=59'60"–1"=59'59"
424-426

Если бы угол АОВ был на 30° меньше, то углы АОВ и ВОС были бы равны, а вместе были бы в 2 раза больше угла ВОС.
1) 180°–30°=150° — составляли бы углы АОВ и ВОС вместе; 2) 150° : 2 = 75° — составляет угол ВОС.
3) 75°+30°=105° — составляет угол АОС. Ответ: 105°; 75°.

№427. Если угол ВОС составляет 1 часть, то угол АОС составляет 3 части. Вместе они составляют 180°.
1) 1+3=4 (ч) — составляет угол АОВ; 2) 180° : 4 = 45° — приходится на 1 часть (составляет угол ВОС);
3) 45°•3=135° — составляет угол АОС. Ответ: 135°; 45°.

№428. а) да б) нет в) нет
429

430-431

а) Пусть угол ВОС в 5 раз больше угла АОВ. Если угол ВОС составляет 1 часть, то угол АОВ составляет 5 частей. Вместе они составляют 180°.
1) 1+5=6 (ч) — приходится на / AOB и / BOC вместе; 2) 180° : 6=30° — приходится на 1 часть (составляет / BOC);
3) 30•5=150° — составляет / AOB.   Ответ: 150°; 30°.
б) Пусть угол ВОС на 40° больше угла АОВ. Если угол ВОС уменьшить на 40°, то величины углов ВОС и АОВ были бы равны, а вместе были бы в 2 раза больше величины угла ВОС.
1) 180°–40°=140°—составляли бы / AOB и / BOC вместе;   2) 140° : 2 =70° — составляет / BOC;
3) 180°–70°=110° — составляет / AOB.   Ответ: 110°; 70°.

2.7. Треугольники

№432. Остроугольные, прямоугольные, тупоугольные, равнобедренные, равносторонние, разносторонние треугольники.
№433. Сумма длин всех сторон.
№434. ΔАОВ —остроугольный ΔMNK —равносторонний ΔCDE — прямоугольный ΔTSR —тупоугольный 435-439

№440. a) 1) 10+2=12 (см) — длина второй стороны;   2) 10+3=13 (см) — длина третьей стороны;
3) 10+12+13=35 (см) — периметр треугольника.   Ответ: 35 см.
б) 1) 12–4=8 (см) — длина второй стороны; 2) 12–3=9 (см) — длина третьей стороны;
3) 12+8+9=29 (см) — периметр треугольника.   Ответ: 29 см.
в) 1) 12+3=15 (см) — длина второй стороны; 2) 12–2=10 (см) — длина третьей стороны;
3) 12+10+15=37 (см) — периметр треугольника.   Ответ: 37 см.
г) 1) 25–4=21 (см) — длина второй стороны;   2) 25+5=30 (см) — длина третьей стороны;
3) 25+21+30=76 (см) — периметр треугольника.   Ответ: 76 см.

№441. а) 7•3=21 (см) — периметр треугольника. Ответ: 21 см.
б) 27 : 3 = 9 (см) — сторона этого треугольника. Ответ: 9 см.

№442. Возможно два случая: основание треугольника равно 5 см, боковая сторона — 6 см или основание треугольника — 6 см, боковая сторона — 5 см.
В первом случае периметр равен 5+6+6=17 см. Во втором случае — 6+5+5= см. Ответ: 16 и 17 см.

№443. Возможно два случая: либо основание больше боковой стороны на 3 см, либо боковая сторона на 3 см больше основания.
1 случай.
Если основание уменьшить на 3 см, то основания и боковая сторона были бы равны, а периметр был бы в 3 раза больше, чем боковая сторона.
1) 30–3=27 (см) — равнялся бы периметр после уменьшения;. 2) 27:3=9 (см) — составляет боковая сторона;
3) 9+3=12 (см) — составляет основание.

II случай.
Если боковую сторону уменьшить на 3 см, то боковая сторона и основание были бы равны, а периметр был бы в 3 раза больше, чем основание.
1) 30–3•2=30–6=24 (см) — составлял бы периметр после уменьшения; 2) 24:3=8 (см) — составляет основание;
3) 8+3=11 (см) — составляет боковая сторона. Ответ: 9 и 12 см; 11 и 8 см.
444

2.8. Четырехугольники

№445. Р=АВ+ВС+CD+DA=1см 5мм+2см+6см 5мм+6см=16 (см) — периметр четырехугольника ABCD. Ответ: 16 см.
№446. Равные четырехугольники: 1 и 2, 3 и 6, 4 и 5, 7 и 8.
447-448

№449. Четырехугольник у которого се углы прямые.
№450. а) Четырехугольник у которого все стороны равны. б) Любой квадрат является прямоугольником, обратное неверно.
№451. а) ABCD б) SPQR
452-453
№454. а) (12+9)•2=21•2=42(см) б) (93+2)•2=95•2=190(см) в) (110+47)•2=157•2=314(мм) г) (17+30)•2=47•2= 94 (см)
№455. а) (15+32)•2 б) (15+b)•2 в) (а+32)•2 г) (а+b)•2

№456. a) 1) 37+6=43 (см) — составляет вторая сторона;
2) (37+43)•2=80•2=160 (см) — периметр прямоугольника. Ответ: 160 см.
б) 1) 37–8=29 (см) — составляет вторая сторона;
2) (37+29)•2=66•2=132 (см) — периметр прямоугольника. Ответ: 132 см.

№457. а) 1) 26•3=78 (см) — составляет вторая сторона;
2) (26+78)•2=104•2=208 (см)— периметр прямоугольника. Ответ: 208 см.
б) 1) 26 : 2 =13 (см) — составляет вторая сторона;
2) (26+13)•2=39•2=78 (см) — периметр четырехугольника. Ответ: 78 см.

№458. 1) 17•2=34 (см) — удвоенная длина первой стороны; 2) 56–34=22 (см) — удвоенная длина второй стороны;
3) 22 : 2 = 11 (см) — вторая сторона. Ответ: 11 см.
459. а) Если основание уменьшить на 4 см, то основание и высота будут равны, а периметр будет в 4 раза больше высоты.
1) 48–4•2=48–8=40 (см) — составлял бы периметр после уменьшения;
2) 40 : 4 =10 (см) — составляет высота. Ответ: 10 см.
б) Если основание уменьшить на 5 см, то основание и высота будут равны, а периметр будет в 4 раза больше высоты.
1) 54–5•2=54–10=44 (см) — составлял бы периметр после уменьшения;
2) 44 : 4 = 11 (см) — составляет высота; 3) 11+5=16 (см) — составляет большая сторона. Ответ: 16 см.

№460. р = АВ+ВС+CD+DA= 4•АВ=4•13= 52 (см)

№461. 1) (16+12)•2=28•2=56 (см) — периметр прямоугольника и квадрата;
2) 56 : 4=12 (см) — сторона квадрата. Ответ: 14 см.

№462. Пусть изначально сторона квадрата равна а см, тогда периметр изначально равен P₁ = 4• а см.
После изменений сторона квадрата будет составлять (а+2) см, а периметр Р₂=4•(а+2) см.
Р₂–Р₁=4•(а+2)–4•а=4•а 8–4•а=8 (см) — на столько увеличился периметр квадрата. Ответ: 8 см.

№463. а) Пусть изначально сторона квадрата равна а см, тогда периметр изначально равен Р₁=4•а см.
После изменений сторона квадрата будет равна (2•а) см, а периметр Р₂=4•(2•а)=8•а см.
Р₂: Р₁=(8•а):(4•а)=2 (р.) — во столько увеличится периметр,
б) Уменьшится в 3 раза, доказывается аналогично пункту а).

№464. 28.
№465. АВ=ВС=CD=DA=2см 5мм Р₁=4•2см 5мм=4•25мм=100м=10см NK=KL=LM=MN=2см 5мм Р₂=4•2см 5мм=10см
№466. а) 4 • 20 = 80 (см) — составляет периметр ромба б) 20 : 4 = 5 (см) — равна сторона ромба
467
№468. 1) Р₁=AB+BD+DA — периметр ΔABD 2) Р2=BD+DC+CB — периметр ΔBCD
3) Р₃=АВ+ВС+CD+DA — периметр четырехугольника ABCD
4) Р₁+Р₂–Р₃=(АВ+BD+DA)+(BD+CD+ВС)–(АВ+ВС+CD+DА)=АВ+2•BD+DA+CD+ВС–АВ–ВС–CD–DA=2•BD Следовательно, BD=(Р₁+Р₂–Р₃):2 = (12+30–32):2= 10:2 = 5 см Ответ: 5 см.

2.9. Площадь прямоугольника. Единицы площади

№469. а) Квадрат, сторона которого равна линейной единице. б) Площадь прямоугольника равна произведению его основания на высоту. в) Площадь квадрата равна второй степени его стороны.
г) Квадратный миллиметр, квадратный сантиметр, квадратный дециметр, квадратный метр, квадратный километр.

№470. 4•7=28 единичных квадратов
№471. а) S=а•b=4•5= 20 (см² ) Ответ: 20 см².

№472. а) в 100 раз б) в 100 раз
в) 1) в 100 раз 2) в 100 раз 3) в 10.000 раз 4) в 100 раз 5) в 10.000 раз 6) в 1.000.000 раз 7) в 100 раз
8) в 10.000 раз 9) в 1.000.000 раз 10) в 100 раз 11) в 10.000 раз 12) в 1.000.000 раз 13) в 100 раз
14) в 10.000 раз 15) в 1.000.000 раз 16) в 100.000.000 раз
473
№474. 1м²=100дм²=> получился ряд длины 100дм=10м Ответ: 10м.
№475. 1м²=100дм²=10000см²=> получился ряд длины 10000см=100м Ответ: 100м.
№476. 1) 18га=1800а; 2) 1800:8=225(р.) — во столько 18га больше 8 соток. Ответ: 225 раз.
№477. 1) S=a•b=500•400=200000 (м²)=2000(а)=20(га) — площадь сада. Ответ: 200000м²; 2000а; 20га.
№478. 1) 5 га=500а=50000м²; 2) 50000:8=6250 (м²) — площадь каждого участка. Ответ: 6250 м².
№479. Из формулы S=a•b следует, что b=S:а. b=91:7=13(см) — составляет основание прямоугольника Ответ: 13см.

№480. 1) S₁=а₁•b₁=4•5=20(м²)— площадь первой комнаты; 2) S₂=а₂•b₂=3•5=15(м²)— площадь второй комнаты;
3) S₃=a₂•b₃=4•3=12(м²)— площадь кухни; 4) S_общ=S₁+S₂+S₃+S₄=20+15+12+10=57(м²)— общая площадь квартиры. Ответ: 57 м².

№481. а) 1) Р=2•(а+b)=2•(2+8)=2•10=20 (см) — периметр прямоугольника и квадрата;
2) а=Р:4=20:4=5(см) — составляет сторона квадрата; 3) S=а²=5²=25 (см²) — площадь квадрата. Ответ: 25 м².
б)1) S=а•b=2•816(см²) — площадь прямоугольника и квадрата. Площадь квадрата вычисляется по формуле S= а², таким образом, имеем равенство а²=16. Следовательно, а=4см, т.к. 4²=16. Ответ: 4 см.

№482. а) Верно. б) Неверно.
Пример:
482

№483. а) Пусть изначально длина прямоугольника составляет а единиц, высота — b единиц.
Тогда изначальная площадь составляет S₁=ab квадратных единиц. Новая длина прямоугольника будет составлять 2а единиц, а площадь S₃=(2•а)•b квадратных единиц.
S₂:S₁=((2•а)•b):(а•b)=2•(a•b):(a•b)=2 (р.) — во столько раз увеличится площадь. Ответ: увеличится в 2 раза.
б) Пусть изначально длина прямоугольника составляет а единиц, высота — b единиц. Тогда изначальная площадь составляет S₁= ab квадратных единиц. Новая длина прямоугольника будет составлять
2•а единиц, ширина — 2•b единиц, а площадь — S₂=(2•а)•(2•b) квадратных единиц.
S₂:S₁= ((2•a)•(2•b)):(a•b)=4(a•b):(a•b)=4 (p.) — во столько увеличится площадь. Ответ: увеличится в 4 раза.
в) Пусть изначально длина прямоугольника составляет а единиц, высота — b единиц. Тогда изначальная площадь составляет S1=ab квадратных единиц. Новая длина прямоугольника будет составлять
2•а единиц, ширина — 3•b единиц, а площадь S₂=(2•а)•(3•b) единиц.
S₂:S₁= ((2•a)•(3•b)):(a•b)=6•(a•b):(a•b)=6 (p.) — во столько увеличится площадь. Ответ: увеличится в 6 раз.

№484. Решим задачу в общем виде. Пусть изначально сторона квадрата составляет а единиц, тогда площадь составляет S₁= а² квадратных единиц. Если увеличить сторону в k раз, где k — натуральное число, то сторона будет составлять (k•а) единиц, а площадь — S₂=(k•а)² квадратных единиц.
S₂: S₁=(k•а)²:а²=(k•а•k•а):а²= k²•а²:а²=k² (р.) — во столько увеличится площадь.
Следовательно, если сторону квадрата увеличить в k раз, то площадь увеличится в k раз.
Имеем: а) при k=2 площадь увеличится в 2²=4 раза; б) при k=3 площадь увеличится в З²=9 раз;
в) при k=10 площадь увеличится в 10²=100 раз.

2.10. Прямоугольный параллелепипед

№485. Грани: АВВ₁А₁, CC₁D₁D, AA₁D₁D, ВВ₁С₁С, ABCD, A₁B₁C₁D₁.
Ребра: АА₁, ВВ₁, СС₁, DD₁, АВ, А₁В₁, ВС, В₁С₁, CD, C₁D₁, DA, D₁A₁. Вершины: А, В, С, D, A₁, В₁, С₁, D₁.
№486. Граней — 6, ребер — 12, вершин — 8.
№487. а) Прямоугольный параллелепипед, у которого все ребра равны,
б) Любой куб является прямоугольным параллелепипедом, обратное неверно.
488-489
№490. Устный.
№491. а) 1) 5•5=25(см²)— площадь одной грани; 2) 25•6=150(см²)— площадь поверхности куба. Ответ: 150см².
б) 1) 10•10=100(см²) — площадь одной грани; 2) 100•6=600(см²) — площадь поверхности куба. Ответ: 600см².

№492. а) Левая грань — «5». Нижняя грань — «6». Задняя грань
492-b

№493. а) 6 б) 1 в) 2
№494. а) 5 б) 4
№495. а), в), г)
496-497

S_осн=5•4=20(см²) — площадь основания
S₁=3•4=12 (см²) — площадь левой и правой боковых граней
S₂ =3•5=15 (см²) — площадь передней и задней боковых граней
S_{бок пов}=2• (S₁+S₂)=2•(15+12)=2•27=54(см²) площадь боковой поверхности
II случай

S_осн=5•3=15(см²) — площадь основания S₁=4•3=12(см²) — площадь левой и правой боковых граней S₂=5•4=20(см²) — площадь передней и задней боковых граней
S_{бок–пов.}=2 • (S₁+S₂)=2•(12+20)=2•32=64(см²) — площадь боковой поверхности
497-3

S_ocн=3•4=12 (см²) — площадь оснований S₁=5•4=20 (см²) — площадь левой и правой боковых граней
S₂=5•3=15 (см²) — площадь передней и задней боковых граней
S_{бок.пов.}=2•(S₁+S₂)=2•(20+15)=2•35=70 (см²) — площадь боковой поверхности
б) S_полн.=S_{бок.пов.}+2•S_осн=70+2•12=70+24=94 (см²) — площадь полной поверхности.

№498. 27.
№499. Одна грань — 6 кубиков. Две грани — 12 кубиков. Три грани — 8 кубиков.

2.11. Объем прямоугольного паралеллепипеда. Единицы объема

№500. а) Куб, ребро которого равно линейной единице.
б) Произведению трех его измерений.
в) Третьей степени длины его ребра.
г) Миллиметр кубический, сантиметр кубический, метр кубический и т.д.
501. а) в 1000 раз б) в 1000 раз
в) 1) в 1000 раз 2) в 1000 раз 3) в 1000000 раз
4) в 1000 раз 5) в 1000000 раз 6) в 1000000000 раз
502. а) 1 м3 = 1000 дм3 => получился ряд длины 1000 дм = 100 м. Ответ: 100 м.
3 3
б) 1 м = 1000000 см получился ряд длины
1000000 см = 10000 м = 10 км
Ответ: 10 км.
503. a) V= а – b– х = 18 • 16–5 = 1440 (см3)
Ответ: 1440 см3.
б) V= а • b • л: = 12 • 45 ¦ 2 = 1080 (см3)
Ответ: 1080 см3.
в) V= а ¦ Ь • х = 16 • 23 • 25 = 9200 (см3)
Ответ: 9200 см3.
г) V=a–bx = 11 • 11 • 11 = 1331 (см3)
Ответ: 1331 см3.
504. a) V= S– х = 136– 5 = 680 (см3)
Ответ: 680 см3.
б) V=S–x = 29S – 4= 1192 (см3)
Ответ: 1192 см3.
в) V=S x = 154 • 8= 1232 (см3)
Ответ: 1232 см3.
г) a) V= 5 • л: = 91 • 19= 1729 (см3)
Ответ: 1729 см3.
505. a) V= S ¦ х = 24 • 3 = 72 (см3) — объем комнаты.
Ответ: 72 см3.
б) л: = F: S = 45 • 15 = 3 (м) — высота комнаты.
Ответ: 3 м.
в) S = F: х = 48 • 3 = 16 (м2) — площадь пола.
Ответ: 16 м2.
506. 1) 45 • 30 • 20 = 27000 (см3) = 27 (л) — объем воды при уровне в 20 см.
2) 27 : 3 = 9 (р.) — придется наполнять водой банку.
Ответ: 9 раз.
507. а) Пусть изначально длина составляет а единиц, ширина — b единиц, высота — х единиц, тогда объем составляет Vt – а • b ¦ х кубических единиц. Новая длина будет составлять 2 • а единиц, а объем V2 = (2 • а) ¦ b ¦ х.
К,: Vl =((2 • а) b–с): (а b–с) = 2 (a b –с): (а– b –с) = 2 (р.) — во столько увеличится объем.
Ответ: увеличится в 2 раза.
б) Пусть изначально длина составляет а единиц, ширина — b единиц, высота — х единиц, тогда объем составляет V\ = а • b • х кубических единиц. Новая длина будет составлять 2 • а единиц, ширина —
3 • b единиц, а объем У2 = (2 • а) • (3 • Ь) • х кубических единиц.
V2 :VX = ({2 a) {3 b) c)\{a–b c) = 6–(a–b c)\{a b c) = 6 (p.)—
во столько увеличится объем.
Ответ: увеличится в 6 раз.
в) Пусть изначально длина составляет а единиц, ширина — b единиц, высота — л: единиц, тогда объем составляет Vt — а ¦ b ¦ х кубических единиц. Новая длина будет составлять 2 • а единиц, ширина — 3 ¦ b единиц, высота — 4 х единиц, а объем — V2 = (2 • а) • (3 • Ь) ¦ (4 • д;). V2:V, = ((2–а) (3 ¦ b) (4 с)):(а ¦ be) = 24(ab с) :(а be) = 24 (р.) –
во столько увеличится объем.
Ответ: увеличится в 24 раза.
508. Решим задачу в общем виде. Пусть изначально ребро куба составляет а единиц, тогда объем — V\ = а кубических единиц. При увеличении длины ребра в к раз, где к — натуральное число, объем составит V2 = (к • а) кубических единиц.
V2:V}=(k a)3: а3 =кг а3: а3 = къ (р ) — во столько увеличится объем. Следовательно, при увеличении длины ребра в к раз объем увеличивается в Л3 раз.
а) при к = 2 объем увеличится в 23 = 8 раз;
б) при к — 3 объем увеличится в З3 = 27 раз;
в) при к = 10 объем увеличится в 103 = 1000 раз.
2.12. Единицы массы
509. Грамм, килограмм, тонна.
510. Грамм — это масса 1 кубического сантиметра воды при температуре 4 °С.
Килограмм — это масса 1 кубического дециметра воды при 4 °С. Тонна — это масса 1 кубического метра воды при 4 °С.
511. а) 1 г — 1 см3, 1 кг— 1 л, 1 т— 1 м3; б) 3 г — 3 см3, 7 кг — 7 л, 79 т — 79 м3.
512. а) 1 ц = 100 кг; б) 12 ц = 1200 кг; в) 1 т = 1000 кг; г) 25 т = 25000 кг;
д) 37 ц = 3700 кг; е) 12 т 24 ц = 14 т 4 ц = 14400 кг.
513. а) 1 кг = 1000 г; б) 87 кг = 87000 г; в) 1 ц = 100000 г; г) 24 ц = = 2400000 г; д) 1 т = 1000000 г; е) 13 т = 13000000 г; ж) 35 т 7 ц = = 35700000 г; з) 37 ц 15 кг = 3715000 г; и) 35 т 36 ц 12 кг = 38 т 6 ц
12 кг = 38612000 г
514. а) 37 г + 4 г = 41 г
б) 9 кг 326 г + 2 кг + 457 г = 11 кг 783 г
в) 23 кг – 2 кг 754 г = 20 кг 246 г
г) 43 кг 271 г – 5 кг 39 г = 38 кг 232 г
515. 1) 5 кг 768 г « 5 кг с недостатком
5 кг 768 г » 6 кг с избытком и округлением
2) 9 кг 326 г « 9 кг с недостатком и округлением
9 кг 326 г • 10 кг с избытком
3) 4 ц 36 кг 125 г » 4 ц 36 кг с недостатком и округлением
4 ц 36 кг 125 г я 4 ц 37 кг с избытком
4) 5т7ц = 5т7цс недостатком, избытком и округлением
2.13. Единицы времени
516. а) Время, за которое Земля совершает полный оборот вокруг своей оси.
б) Секунда, минута, час, сутки и т.д.
517. Год, который содержит 366 суток.
518.7 месяцев — по 31 дню, 4 месяца — по 30 дней. В обычном году в феврале 28 дней, в високосный год — 29 дней.

519. а) 2 ч = 120 мин; б) 3 ч = 180 мин; в) 1440 мин; г) 10080 мин.
520. а) 2 ч = 7200 с; б) 3 ч = 10800 с; в) 86400 с; г) 604800 с.
521. а) 3 ч 15 мин + 2 ч 12 мин = 5 ч 27 мин
б) 3 ч 20 мин + 1 ч 40 мин = 4 ч 60 мин = 5 ч
в) 7 ч 43 мин + 2 ч 25 мин = 9 ч 68 мин = 10 ч 8 мин
г) 5 ч 53 мин + 3 ч 48 мин = 8 ч 101 мин = 9 ч 41 мин
д) 3 мин 20 с + 1 мин 13 с = 4 мин 33 с
е) 3 мин 48 с + 21 мин 49 с = 24 мин 97 с = 25 мин 37 с
ж) 7 ч 43 мин – 2 ч 25 мин = 5 ч 18 мин
з) 5 ч 23 мин – 3 ч 48 мин = 4 ч 83 мин – 3 ч 48 мин = 1 ч 35 мин
и) 3 мин 20 с – 1 мин 13 с = 2 мин 7 с
к) 3 мин 48 с – 1 мин 49 = 2 мин 108 с – 1 мин 49 = 1 мин 59 с
522. 12 ч 35 мин + 2 ч 40 мин = 14 ч 75 мин = 15 ч 15 мин Ответ: 15 ч 15 мин
523. 17 ч 10 мин – 14 ч 45 мин = 16 ч 70 мин – 14 ч 45 мин = 2 ч 25 мин Ответ: 2 ч 25 мин
7 => в феврале не может быть 5 понедельников и
Т
7
4“ => в марте может быть 5 понедельников и 5 вторников
7 => утверждение верно.
Т"
3
525. а) 3 • 3 ч 15 мин = 9 ч 45 мин
б) 4 • 1 ч 20 мин = 4 ч 80 мин = 5 ч 20 мин
в) 3 • 5 ч 24 мин —15ч 72 мин = 16ч 12 мин
г) 7 • 2 ч 12 мин = 14 ч 84 мин = 15 ч 24 мин
526. а) 3 ч 15 мин : 3 = 1 ч 5 мин
б) 4 ч 48 мин : 4 = 1 ч 12 мин
в) 6 ч 56 мин : 4 = 416 мин : 4 = 104 мин = 1 ч 44 мин
г) 2 ч 55 мин : 5 = 175 мин : 5 = 35 мин
2.14. Задачи на движение
527. а) 12:3 = 4 (км/ч) — скорость пешехода
б) 12–2 = 24 (км) — прошел катер
в) 15 : 3 = 5 (ч) — за это время бревно проплывет 15 км
528. а) Мальчик не учел, что течение реки влияет на скорость лодки.
б) Река течет из А в В.
в) 18 3 — 54 (км) — пройдет катер

г) за 1 ч — на 2 • 1 = 2 (км)
д) за 5 ч — на 2 • 5 = 10 (км)
529. 1) 18 +2 = 20 (км/ч) — скорость движения по течению;
2) 18 — 2= 16 (км/ч) — скорость движения против течения.
Ответ: 20 км/ч; 16 км/ч
530. а) 12 + 3 = 15 (км/ч) — скорость катера по течению реки;
б) 12–3 = 9 (км/ч)— скорость катера против течения реки;
в) 15 • 3 = 45 (км) — путь по течению за 3 ч;
г) 12 • 5 = 60 (км) — путь против течения за 5 ч.
531. а) 1) 27 + 3 = 30 (км/ч) — скорость теплохода по течению;
2) 120 : 30 = 4 (г) — затратил теплоход.
Ответ: 4 ч
б) 1) 20 – 2 = 18 (км/ч) — скорость моторной лодки против течения;
2) 90 : 18 = 5 (ч) — затратит моторная лодка.
Ответ: 5 ч
532. 1) 15 + 2= 17 (км/ч) — скорость катера по течению;
2) 15–2= 13 (км/ч) — скорость катера против течения;
3) 17 • 2 = 34 (км) — проплыл катер по течению;
4) 13•3 = 39 (км) — проплыл катер против течения;
5) 34 + 39 = 73 (км) — проплыл катер за все время.
Ответ: 73 км.
533. а) 1) 10 + 2 = 12 (км/ч) — скорость катера по течению;
2) 24 : 12 = 2 (ч) — время на путь по течению;
3) 10–2 = 8 (км/ч) — скорость катера против течения;
4) 24 : 8 = 3 (ч) — время на путь против течения;
5) 2 + 3 = 5 (ч) — время на весь путь.
Ответ: 5 ч
6) 1)15 + 3 = 18 (км/ч) — скорость катера по течению;
2) 36 : 18 = 2 (ч) — время на путь по течению;
3) 15 – 3 = 12 (км/ч) — скорость катера против течения;
4) 36 : 12 = 3 (ч) — время на путь против течения;
5) 3 + 2 = 5 (ч) — время на весь путь.
Ответ: 5 ч
534.
^собст. у
г течения у
г по теч у
г пр.теч
1 12 км/ч 4 км/ч 16 км/ч 8 км/ч
2 25 км/ч 3 км/ч 28 км/ч 22 км/ч
3 24 км/ч 4 км/ч 28 км/ч 20 км/ч
4 12 км/ч 5 км/ч 17 км/ч 7 км/ч
5 19 км/ч 3 км/ч 22 км/ч 16 км/ч
6 42 км/ч 3 км/ч 45 км/ч 39 км/ч
535. а) кс + гт гПОт. б) /•с. fj. ^"прт. в) гПрТ + гт гс
О ^"пр.т. 2гт гпо т д) д"по т + гт гс е) кп0 т + гПр т. 2а"т

536. а) 1) 48 : 3 = 16 (км/ч) — скорость лодки по течению;
2) 48 : 4 = 12 (км/ч) — скорость лодки против течения;
3) 16 – 12 = 4 (км/ч) — удвоенная скорость течения;
4) 4 : 2 = 2 (км/ч) — скорость течения.
Ответ: 2 к/ч
б) 1) 72 : 2 = 36 (км/ч) — скорость катера по течению;
2) 72 : 3 = 24 (км/ч) — скорость катера против течения;
3) 36 – 24 = 12 (км/ч) — удвоенная скорость течения (плота);
4) 72 : 6 = 12 (ч) — за столько времени это расстояние проплывет плот. Ответ: 12 ч
537. гпох – гпр т = 2гт =2–3 = 6 (км/ч)
Ответ: 6 км/ч
538. 1) 3 ч 30 мин = 210 мин;
2) 420 : 210 = 2 (км/мин) — скорость аэроплана;
3) 2 км/мин = 2–60 км/ч = 120 км/ч.
Ответ: 120 км/ч, лишние дата события и высота полета.
539. а) 60 + 80 = 140 (км/ч) —– скорость удаления Ответ: 140 км/ч
б) 1) 60 + 70 = 130 (км/ч) — скорость удаления;
2) 260 : 130 = 2 (ч) — через столько времени расстояние между поездами будет 260 км.
Ответ: 2 ч
540. а) 1) 4 + 5 = 9 (км/ч) — скорость сближения пешеходов;
2) 9 • 3 = 27 (км) — на столько сблизятся пешеходы;
3) 36 – 27 = 9 (км) — расстояние между ними через 3 ч.
Ответ: 9 км; 9 км/ч
б) 1) 60 + 80 = 140 (км/ч) — скорость сближения автомобилей Ответ: 140 км/ч
541. а) 1) 10 + 8 = 18 (км/ч) — скорость сближения велосипедистов;
2) 36 : 18 = 2 (ч) — через столько они встретятся.
Ответ: 2 ч
б) 1) 40 + 30 = 70 (верст/день) — скорость сближения путников;
2) 700 : 70 = 10 (дней) – через столько они встретятся.
Ответ: 10 дней.
542. а) 1) 60 + 80 = 140 (км/ч) — скорость сближения поездов;
2) 140 1 = 140 (км) — расстояние между поездами за 1 ч до встречи. Ответ: 140 км; лишнее условие — расстояние между городами,
б) В момент встречи они будут на одинаковом расстоянии и от города и от села.
543. 1) 54 – 27 = 27 (км) — проедут велосипедисты;
2) 15 + 12 = 27 (км/ч) — скорость сближения;
3) 27 : 27 = 1 (ч) — через столько времени расстояние между ними будет 27 км.
Ответ: 1 ч.
544. а) 1) 40 – 12 = 28 (км/ч) — скорость удаления;
2) 56 : 28 = 2 (ч) — через столько времени расстояние между ними будет 56 км.
Ответ: 28 км/ч; 2 ч
б) 1) 50 – 40 = 10 (км/ч) — скорость сближения;
2) 30 : 10 = 3 (ч) — через столько времени второй догонит первого. Ответ: 2 ч.
545. 1) 40 • 1 = 40 (верст) — расстояние между юношами;
2) 45 – 40 = 5 (верст/день) — скорость сближения;
3) 40 : 5 = 8 (дней) — через столько второй догонит первого.
Ответ: через 8 дней.
546. 1) 39 – 26 = 13 (верст/ч) — скорость удаления;
2) 26 • 2 = 52 (верст) — на столько опередил первый второго за время своего пути;
3) 52 : 13 = 4 (ч) — время первого в пути;
4) 39 • 4 = 156 (верст) — расстояние от Москвы до Твери.
Ответ: 156 верст.
547. 1) 18 : 2 = 9 (ч) — за столько скорый поезд проходит 900 км;
2) 900 : 9 = 100 (км/ч) — скорость скорого поезда;
3) 900 : 18 = 50 (км/ч) — скорость товарного поезда;
4) 100 + 50 = 150 (км/ч) — скорость сближения;
5) 900 : 150 = 6 (ч) — через столько они встретятся.
Ответ: 6 ч
548. а) 1) 80 • 2 = 160 (км) — прошел скорый поезд за 2 ч;
2) 720 – 160 = 560 (км) — расстояние между поездами во время выхода пассажирского;
3) 80 + 60 = 140 (км/ч) — скорость сближения;
4) 560 : 140 = 4 (ч) — через столько часов после выхода второго поезда они встретятся.
Ответ: 4 ч
6) 1)4–3 = 12 (км) — расстояние между ними во время выезда велосипедиста;
2) 10–4 = 6 (км/ч) — скорость сближения;
3) 12 : 6 = 2 (ч) — через столько велосипедист догонит пешехода. Ответ: 2 ч
549. 1) 500 : 2 = 250 (сажен/мин) — скорость зайца;
2) 1300 : 5 = 260 (сажен/мин) — скорость собаки;
3) 260 – 250 = 10 (сажен/мин) — скорость сближения;
4) 150 : 10=15 (мин) — через столько собака догонит зайца.
Ответ: 15 мин
550. 1) 150 : 3 = 50 (м/мин) — скорость эскалатора;
2) 150 : 2 = 75 (м/мин) — скорость человека и эскалатора вместе;
3) 75 – 50 = 25 (м/мин) — скорость человека.
Ответ: 25 м/мин
551. Т.к. шляпа будет плыть по течению, то скоро.сть и направление течения в задаче можно не учитывать.
1) 15 мин = (15 : 60) ч;
2)8 •(15 : 60) = 120 : 60 = 2 (км) — расстояние между лодкой и шляпой через 15 мин.
Ответ: 2 км; лишние данные — скорость и направление течения.
552. 1) 100 + 80 = 180 (км/ч) — скорость сближения;
2) 180 км/ч = (180: 60) км/мин = 3 км/мин = (3 • 1000) м/мин =
= 3000 м/мин = (3000 : 60) м/с = 50 м/с;
3) 50 • 12 = 600 (м) — длина первого поезда.
Ответ: 600 м.
553. Когда состав проходит мимо километрового столба, он проходит расстояние, равное длине состава, то есть 1 км. Когда состав проходит туннель, он проходит расстояние, равное длине туннеля и длине состава.
1) 3 – 1 = 2 (мин) — нужно, чтобы пройти длину туннеля;
2) 2 • 1 = 2 (км) — длина туннеля.
Ответ: 2 км.
554. а) 1) 30 : 10 = 3 (ч) — через столько велосипедист прибыл в В;
2) 5 • 3 = 15 (км) — прошел пешеход за 3 ч;
3) 30 – 15 = 15 (км) — расстояние пешехода до В через 3 ч;
4) 10 + 5=15 (км/ч) — скорость сближения;
5) 15 : 15 = 1 (ч) — через столько они встретятся после выезда велосипедиста из В;
6) 3 + 1 = 4 (ч) — через столько они встретятся.
Ответ: 4 ч.
б) 1) 17 : 12 = (17 : 12) (ч) — через столько велосипедист приехал в В;
2) 5 • (17 : 12) = (85 : 12) (км) — прошел пешеход, когда велосипедист приехал в В;
3) 17–(85 : 12) = (17 • 12): 12–85 : 12 = (17 • 12–85): 12 =
= (119: 12) (км) — расстояние от пешехода до В;
4) 12 + 5 = 17 (км/ч) — скорость сближения;
5) (119 : 12) : 17 = (119 : 17) : 12 = (7 : 12) (ч) — через столько они встретились после выезда велосипедиста из В;
6) 17 : 12 + 7 : 12 = (17 + 7): 12 = 24: 12 = 2 (ч) — через столько времени после начала движения они встретились.
Ответ: 2 ч.
в) 1) 12 : 8 = (3 : 2) (ч) — через столько второй доехал до пункта;
2) 10 • (5 : 2) = 30 : 2 = 15 (км) — проехал первый за это время;
3) 15 – 12 = 3 (км) — проехал от пункта в другом направлении первый;
4) 12–3 = 9 (км) — расстояние между ними через (5 : 2) часа;
5) 10–+ 8 — 18 (км/ч) — скорость сближения;
6) 9 : 18 = (1 : 2) (ч) – время до встречи после выезда второго;
7) 1 : 2 + 3 : 2 = (1 + 3) : 2 = 4 : 2 = 2 (ч) — время до встречи во второй раз.
Ответ: 2 ч.

Дополнения к главе 2 1. Многоугольники
555. а) Несколько точек на плоскости, соединенные отрезками, называются ломаной, если никакие два из этих отрезков, имеющих общие точки, не лежат на одной прямой.
б) Отрезки, соединяющие эти точки, называются звеньями.
в) ABCDE.
г) Ломаную, у которой конец совпадает с началом.
556. АВ, ВС, CD, DE — звенья.
в
б) Пусть существует, докажем противное. Ломаная образует треугольник со сторонами АВ = 1 см, ВС = 2 см, СА = 3 см. Но это противоречит неравенству треугольника, а именно, что СА < АВ + ВС, т.к. СА = 3 см = 1 см + 2 см = АВ + ВС. пришли к противоречию, следовательно, такой замкнутой ломаной не существует.
в) Пусть существует, докажем противное. Ломаная образует треугольник со сторонами АВ = 1 см, ВС = 2 см, СА = 4 см. Но это противоречит неравенству треугольника, а именно, что СА < АВ + ВС, т.к. СА = 4 см > 1 см + 2 см = АВ + ВС.
Пришли к противоречию, следовательно, такой замкнутой ломаной не существует.
558. Длина ABCD есть Р = АВ + ВС + CD = 3 см + 4 см + 13 см =
–– 20 см.
Расстояние между концами —AD = 12 см.
Ответ: 20 см; 12 см.
559. Длина ломаной ABC есть Р\ = АВ + BE + ЕС, длина ломаной ADC — Р2 = AD +– DC. Прибавим к Р\ и Р2 отрезок DE, соотношение
и Р2 при этом не изменится.
Имеем, Р{= АВ + BE + ЕС + DE, P2 = AD + DE + DC = AE + DC.
По неравенству треугольника АЕ < АВ + BE, a DC < ЕС + DE, т.е. Р2 = АЕ + DC < (АВ + BE) + (ЕС + DE) = Рь т.е. Р2< Рь что и требовалось доказать.

560. а) Фигуру, образованную такой замкнутой ломаной линией, что никакие два ее звена не имеют общих точек, кроме концов соседних звеньев ломаной, называют многоугольником.
б) Звенья ломаной — стороны многоугольника.
Углы, составленные каждыми двумя соседними сторонами, — углы многоугольника.
Вершины углов — вершины многоугольника.
в) Сумму длин сторон многоугольника.
г) Многоугольник называют выпуклым, если он расположен по одну сторону от каждой прямой, содержащей его сторону.
д) Многоугольники, которые можно совместить при наложении.
561. Стороны — АВ, ВС, CD, DE, ЕА. Вершины — А, В, С, D, Е.

562. а) 2 6)5 в) 9 г) 14
563. а) 35 6) 170
564. Периметр ABCD есть –ВС+ CD+BD, периметр ABDE есть P2–BD + BE + DE, периметр ДАВЕ есть Ръ– АВ + ВЕ + ЕА.
Периметр пятиугольника ABCDE это Р = АВ + ВС CD + DE + ЕА. Рх+Р2 + Р3 = (ВС + CD + BD) + (BD + BE + DE) + (AB + BE + EA) =
= (AB + BC + CD + DE + EA) + 2 • BD + 2 • BE = P + 2 ¦ (BD + DE) =
= P + 2 • 2 • BD = P + 4 BD, т.к. BD = BE.
Имеем Pl+P2 + Pi = P + 4 – BD, т.е. 20 + 21 + 22 – 31 + 4 • BD, т.е.
4 BD = 32, т.е. BD = 8 cm = BE.
Ответ: 8 см; 8 см.
565. Верно, т.к. AABD и ACDB равны.
5 = АВ • AD = 3–4=12 (см2) — площадь AABD.
Ответ: 12 см2.
566. Рассмотрим &KLM и ANLM, они равны, т.к. совпадают при наложении, а именно у них общая сторона LM, равные стороны KL и NM, КМ и NL. Следовательно, площади AKLM и ANLM равны.
S&KLM ~ ^OxLO + S&LOM ’ “^ЛЛ'Ш = ^ANMO LOM > Т,е–
^AKLO ^ALOM ~ ^ALOM > Т–е– ^&xLO ~ > ЧТО И ТребОВЗЛОСЬ
доказать.
567. Устная.
568. Устная.
569. 1) 11 • 15 = 165 (см2) — площадь места фанеры;
2) 5 =25 (см2) — площадь одного квадрата;

3) 4 • 7 = 28 (см ) — площадь одного прямоугольника;
4) 165 – 2 • 25 – 3 • 28 = 165 – 50 – 84 = 31 (см2) — площадь оставшейся части.
Ответ: 31 см2.
570. а) Р = (4 + 9) • 2 = 13 • 2 = 26 см
б)
7 см 7 см

6 СМ
DUL 1
= 21 (см ) Ответ: 21 см .

5=2–5, + 52 = 5 + 52=13–5 + 13– 17= 13 • (5 + 17)= 13 • 22 = 286 (СМ2) Ответ: 286 см2.
в)/>=2–9 + 2•7 + 2,4 = 2(9 + 7 + 4) = 2–20 = 40 (см)
Ответ: 40 см.
3. Занимательные задачи
572.

573. После двух дней улитка будет на уровне 4 м. В третий день улитка поднимется еще на 4 м и достанет вершины.
Ответ: 3 дня.
574. 575.
576. Устный.
577.
2 3
1

578. 12 фигур.
579. 35 штук.
580. 1) 5 м = 500 см;
2) 500: 10 = 50 (см) –
3) 6 м = 600 см;
4) 600 : 10 = 60 (см) — составит вторая сторона на плане;
5) 50 • 60 = 3000 (см2) — площадь пола на плане;
6) 5 • 6 = 30 (м2) — площадь пола;
7) 30 м2 = 300000 см2;
8) 300000 : 3000= 100 (р.) будет меньше настоящей.
Ответ: в 100 раз.
581. 11 разверток.
ГЛАВА 3. ДЕЛИМОСТЬ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
3.1. Свойства делимости
582. Устный.
583. Устный.
584. а) 24 = 2 • 12 => 24 делится на 12; б) 42 = 2 • 21 =5> 42 делится на 21; в) 36 = 6 • 6 => 36 делится на 6; г) 72 = 9 • 8 => 72 делится на 9;
д) 75 = 5 • 15 => 75 делится на 5; е) 75 = 25 • 3 => 75 делится на 25.
585.5 = 5– 1, 10 = 5 –2, 15 = 5 –3,20= 5 –4,25 = 5 –5, 30 = 5–6
586. а) 2, 4, 6, 8, 10; б) 5, 10, 15, 20, 25; в) 20, 40, 60, 80, 100; г) 7, 14,
21, 28, 35; д) 3, 6, 9, 12, 15; е) 9, 18, 27, 36,45; ж) 4, 8, 12, 16, 20; з) 11,
22, 33, 44, 55
587. а) 2 = 2–1,4 = 2– 2, 6 = 2– 3 б) 5 = 5–1, 10 = 5–2, 15 = 5– 3
в) 20 = 20 – 1,40 = 20–2,60 = 20–3 г) 7 = 7 • 1, 14 = 7 • 2, 21 = 7 • 3
588. а)верно б)верно в)верно
589. а) 45 + 36 = 9 • (5 + 4) => 45 + 36 делится на 9;
б) 99 + 88 = 11 • (9 + 8) 99 + 88 делится на 11;
в)13–а+13–с=13–(а + с)=>13–а+13–с делится на 13;
г) 12 – а + 15 • 6 + 9 • с = 3 • (4 • or + 5 • 6 + 3 • с) =>
=> 12– а+15–6 + 9– с делится на 3.
590. а) (3 • а + 3 • 6): 3 = 3 • (а + 6): 3 = (а + 6)(3 : 3) = (а + 6) • 1 = а + 6;
б) (с • а + с • 6): с = с • (а + 6): с = (а + 6) • (с : с) = (а + 6) • 1 = а + 6.
591. а) (48 + 36): 2 = 48 : 2 + 36 : 2 = 24 + 18 = 42;
б) (16 + 20): 4 = 16 : 4 + 20 : 4 = 4 + 5 = 9;
в) (50 + 120): 5 = 50 : 5 + 120 : 5 = 10 + 24 = 34;
г) (484 + 426): 2 = 484 : 2 + 426 : 2 = 242 + 213 = 455;
д) (840 – 488): 4 = 840 : 4 – 488 : 4 = 210 – 122 = 88;
е) (963 – 690): 3 = 963 : 3 – 690 : 3 = 321 – 230 = 91;
ж) (990 + 99): 9 = 990 : 9 + 99 : 9 = 110+ 11 = 121.

в) 8151 3 — не делится г) 7361 3 — не дели гея
6 2717 6 2453
21 13
21 12
5 16
3 15
21 11
21 9
0 2
д) 7263 2 — не делится е) 9751 2 — не делится
6 3631 8 4875
12 17
12 16
6 15
6 14
3 11
2 10
1 1
593. а) не делится б) делится в) делится
123456789 2 123456789 3 123456789 9
12 61728394 12 41152263 9 13717421
3 3 33
2 3 27
14 4 64
14 3 63
5 15 15
4 15 9
16 6 66
16 ~6 63
7 37
“6 6 36
18 18 18
18 18 18
9 9 9
8 9 9
1 0 0

3.2. Признаки делимости
594. Устный.
595. Устный.
596. Устный.
597. Устный.
598. а) 128, 500, 506, 830, 962, 750, 1000, 1262, 2440;
б) 325, 500, 725, 905, 830, 750, 1000, 2440;
в) 500, 830, 750, 1000, 2440;
г) 500, 830, 750, 1000, 2440.
599. а) 4, 6, 8, 10, 12, 14; б) 10, 15, 20, 25, 30, 35;
в) 10, 20, 30, 40, 50, 60; г) 10, 20, 30,40, 50, 60.
600. а) 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90; б) 25, 30, 35,40,45;
в) 52, 54, 56, 58, 60, 62, 64, 68, 70, 72.

[ назад] [в содержание] [вперед]