601. а) 3572, 3752, 7352, 7532, 5372, 5732;
б) 3275, 3725, 7325, 7235, 2375, 2735.
602. а) 256; б) 216; в) 125; г) нельзя.
603. 18 – 2 • 9, 20 = 2 • 10, 48 = 2 • 24, 96 = 2 • 48
604. Пусть а — четное число, т.е. представляется в виде а = 2 • к, где к — некоторое натуральное число, b — любое натуральное число. Покажем, что (а • Ь) — четное число.
а • b = 2 • к • b = 2 • (к • Ь) — 2 • г, где г = к – b
Таким образом, (а • Ь) представляется в виде а • b = 2 • г, где г — некоторое натуральное число, т.е. а ¦ Ь — четное число.
605. Пусть а, b — два четных числа, т.е. они представляются в виде а = 2 ¦ т, b = 2 • п, где тип — некоторые натуральные числа. Покажем, что (а + Ь) — четное число.
а + Ь = 2 т + 2 п = 2 (т+п)=12 к, где к = т + п.
Таким образом, (о + Ь) представляется в виде а + b = 2 • к, где к — некоторое натуральное число, т.е. а + b — четное число.
606.7 = 3 –2 + 1,9 = 4–2 + 1,5 = 2–2 + 1, 13 = 6–2 + 1
607. Пусть а, Ъ — два нечетных числа, т.е. они представляются в виде а = 2 • т + 1,6 = 2 • и + 1, где тип — некоторые натуральные числа. Покажем, что (а + Ь) — четное число.
а+Ь = (2т+\) + (2п + \) = 2т + 2п + 2 = 2(т + п+ 1) =
= 2 к, где к = т + п + 1
Таким образом, (а + Ь) представляется в виде а + b = 2 • к, где к — некоторое натуральное число, т.е. а + b — четное число.
608. а) Сумма цифр числа 111 111 111 111 111 равна 15, следовательно, оно делится на 3, т.к. 15 делится на 3.
б) Сумма цифр числа 111 111 111 111 111 равна 15, следовательно, оно делится на 9, т.к. 15 не делится на 9.
609. а) 45; б) 54; в) 855; г) 7380; д) 657; е) 702; ж) 2430; з) 20907.
610. а) Сумма должна быть четным числом,
б) Сумма должна быть нечетным числом.
611. а) Наибольшее 999 998 б) Наибольшее 999 999
Наименьшее 100 000 Наименьшее 100 000
в) Наибольшее 999 995 г) Наибольшее 999 999 Наименьшее 100 000 Наименьшее 100 008
д) Наибольшее 999 990
Наименьшее 100 000
612. Сумма Сашиной покупки должна быть четным числом, т.к. количество тетрадей и альбомов, а также их цены в копейках, — четные числа, цена на ручку в копейках также четное число, а первоначальный подсчет в копейках дал нечетное число.
613. Любое число можно представить в виде а = а0 + ах ¦ 10 + а2 • 100 + + а3 • 1000 ... Числа 100, 1000, ... делятся на 4. Следовательно, если две последние цифры числа а — нули или образуют число, которое делится на 4, то число а само делится на 4.
614. 7928, 1996, 7568936, 1000, 5700.
615. 2004, 2008, 2012, 2016.
616. а)четное б)нечетное в)нечетное
617. а) Покажем, что сумма трех нечетных чисел — нечетное число. Пусть а, Ь, с — нечетные числа, т.е. они представляются в виде а – = 2 / + \, b – 2 ¦ т + 1, с = 2 • и + 1, где /, т, п — некоторые натуральные числа.
а + b + с — (2– b + 1) + (2 • m + 1) + (2 • и + 1) =
= 2– т + 2– п + 2–1 + 2 + 1 = 2–(т + и + /+ 1) + 1 = 2– к + 1, к = т + п + I + 1
Таким образом, число (а + b + с) представляется в виде а + b + с = –2 • к + 1, где к — некоторое натуральное число, т.е. (а + Ь + с) — нечетное число. Следовательно, нельзя подобрать три нечетных числа, сумма которых равна 12, т.к. 12 — это четное число, а сумма трех нечетных чисел — нечетное число.
б) Используем уже доказанные факты: сумма трех нечетных чисел — нечетное число, сумма двух нечетных чисел — четное число, сумма четного и нечетного числа — нечетное число. Таким образом, сумма любых пяти нечетных чисел — нечетное число, следовательно, их сумма не может равняться 100, т.к. 100 — четное число.
618. а) Пусть п нечетных слагаемых а, где п — четное число, т.е. п представляется в виде п–2 • к, где к — некоторое натуральное число. Покажем, что сумма четного числа нечетных слагаемых четная.
а + а + ... + а = п–а = (2–к)–а = 2 (к а) = 2 т, где т– к – а
п раз
Таким образом, сумма представляется в виде 2 • т, где т — некоторое натуральное число, т.е. сумма четного числа нечетных слагаемых четная.
б) Пусть имеется п нечетных слагаемых а, где п — нечетное число, т.е. а и п представляются в виде а = 2– /+1,и = 2– А:+1, где к, I — некоторые натуральные числа.
Покажем, что сумма нечетного числа нечетных слагаемых нечетная. а + а + ... + а — п • а = (2 • к +1) • (2 • / +1) =
п раз
= (2k + \)2l + (2–k + l)\ = 2(2–k + \)l + 2kj–\ =
= 2 ((2к + !)• / + &) + 1 = 2 т + 1, где т = (2к + 1) • / + к
Таким образом, сумма представляется в виде 2 • т +–1, где т — некоторое натуральное число, т.е. сумма нечетного числа нечетных слагаемых нечетная.
3.3. Простые и составные числа
619. а) Число, которое больше 1 и делится только на 1 и само себя.
б) Непростое натуральное число, большее 1.
620. а) Нет; б) да.
621. Из простых чисел, составных чисел и единицы.
622. 2.
623. Простые — 5,7, И, 13. Составные — 6, 8,9, 10, 12, 14, 15.
624. а) 7690 = 2 • 3845 — составное б) 7395 = 5 • 1479 — составное
в) 4256 = 2 –2128 — составное г) 12375 = 2475 • 5 — составное
д) 12321 =3 –4107 — составное
625. а) 29 делится только на 1 и на себя => простое
б) 41 делится только на 1 и на себя => простое
в) 53 делится только на 1 и на себя => простое
г) 59 делится только на 1 и на себя => простое
626. а) Простые — 47, 127, 673. б) 31, 37, 41, 43, 47. в) 32, 33, 34, 35, 36, 38, 39,40, 42, 44,45,46, 48, 49.
627. Нет.
628. Если бы такое число существовало, то оно было бы больше 2 и делилось бы не только на 1 и на само себя, но и на 2, следовательно, не являлось бы простым.
629. а) Нет, иначе число было бы четным, а, следовательно, не являлось бы простым.
б) Нет, иначе число было бы четным, т.к. сумма двух нечетных чисел — четное число, а четное число не являлось бы простым. Исключение — число 2, т.к. 2=1 + 1.
в) Можно.
630. Если дать четырем людям нечетное число конфет, то вместе у них будет четное число, т.к. сумма четного числа нечетных слагаемых четная. Поэтому приз никто до сих пор не получил, ведь 99 — нечетное число.
631. а) 35025; б) 42240; в) 53295; г) 72108.
35025, 53295 делятся на 5
42240, 72108 делятся на 2 и на 4 42240 делится на 10
632. а) 9369, может б) 3000 делится на 3, но не делится на 9
3.4. Делители натурального числа
633. а) Если натуральное число а делится на натуральное число Ь, то число b называют делителем числа а. Если делитель — простое число, то его называют простым делителем.
б) Значит представить это число в виде произведения различных его простых делителей или их степеней.
634. а) 2= 1–2 6)6 = 2–31 в) 12 = 22 • 3 – 1
г) 16 = 24 • 1 д) 18 = 2 З2 1 е) 20 = 22 • 5 • 1
ж) 28 = 22 • 7 • 1 з) 7 = 7 • 1 и) 1 = 1
к) 48 = 24 • 3 • 1 л) 100 = 22–52– 1 м) 104 = 23•13 • 1
н)121 = II2– 1 о)256 = 28 • 1
635. а) 2,4, 6, 8, 10 6)3,6,9,12,15
в) 4, 8, 12, 16, 20 г) 5, 10, 15,20, 25
д) 9, 18,27, 36,45 е) 10, 20, 30,40, 50
ж) 6,12,18, 24, 30 з) 12, 24, 36,48, 60
и) 10, 20, 30, 40, 50 к) 36, 72, 108, 144, 180
636. а) 2, 4, 8, 16, 32 6) 3, 9, 27, 81, 243
в) 5,25,125, 625, 3125 г) 6, 12, 18, 36, 48
д) 10, 20, 40, 50, 80
637. а) Есть в учебнике.
б) Число а имеет простые делители 3, 5 и 7. Другие делители найдем, составляя различные произведения из простых делителей:
3 • 5 = 15, 3 • 7 = 21, 5 – 7 = 35, 3–5•7= 105. Кроме того, число а делится на 1.
Ответ: 1, 15, 21, 35, 105.
в) Число а имеет простые делители 3, 3 и 11. Другие делители найдем, составляя различные произведения из этих простых делителей:
3 11= 33, 3 3 = 9, 3 3 11 = 99 Кроме того, число а делится на 1.
Ответ: 1,3,9, 11,33,99.
г) Число а имеет простые делители 3, 5, 5 и 7. Другие делители найдем, составляя различные произведения из этих простых делителей:
3 • 5 = 15, 3 • 7 = 21, 5 • 5 = 25, 5 • 7 = 35, 3 • 5 • 5 = 75, 3 • 5 • 7 = 105, 5–5–7=175, 3–5–5–7 = 525.
Кроме того, число а делится на 1.
Ответ: 1, 3, 5, 7, 15, 21, 25, 35, 75, 105, 175, 525.
638. а) 16 = 2 • 2 • 2 • 2 б) 18 = 2 • 3 • 3
в) 26 =12–3 г) 35 = 5 • 7
д) 48 = 2 • 2 • 2 • 2 • 3 е) 70 = 2 • 5 • 7 .
ж) 144 = 2 • 2 • 2 • 2 • 3 • 3 з) 210 = 2 • 3 • 5 • 7
и) 800 = 2– 2– 2– 2– 2– 5– 5 к) 216 = 2 • 2 • 2 • 3 • 3 • 3
л) 343 = 7 • 7 • 7
м) 1024 = 2–2–2–2–2–2–2–2–2–2
10 раз
639. а) 20 • 24 = 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 3 • 5
б) 12 • 25 = 2 • 2 • 3 • 5 • 5
в) 164 10 = 222541
г) 8– 125 = 2 –2 –2 –5 –5 –5
д) 125–64 = 2–2–2–2–2–2–5–5–5

е) 112 – 147 = 2–2
ж) 101 • 37 = 7 • 11
з) 47–201 =3–47–67
640. а) 1,2, 3,4, 6, 12
в) 1,2, 3,6, 9, 18
641. а) 1,2,4, 8, 16, 32
б) 1,2, 3,4, 6, 8, 12, 16, 24,48
в) 1,2,4, 7, 8, 14, 28, 56
642. а) 32= 1 –32 = 2– 16 = 4
б)62 = 1 –62 = 2–31
в) 51 = 1 –51=3– 17
г) 100 = 1 • 100 = 2–50 = 4–25 =
7–7–7
643. а) 10
1
10 = 25
в) 1000 100
10
1
644. а) 64 2 б) 200 2–5
32 2 20 2–5
16 2 2 2
8 2 1
4 2
2 2
1
64 = 2– 2– 2 • 2 • 2 • 2 = 26 200 = 2 •2–2
в) 144 2–3 г) 256 2
24 2–2 128 2
4 2 64 2
2 2 32 2
1 16 2
8 2
4 2
2 2
1
144 = 2 • 2 • 2 • 2 • 3 • 3 = 24 • З2 256 = 2 –2–2
Д) 333 3 е) 346 2
111 3 173 173
37
1 37 1
1
333 = 3 • 3 • 37 = З2•37 346 = 2 • 173
1000 = 2 • 2 • 2 • 5 • 5 • 5 = 23 • 53
5 • 5 = 2 • 5
2 • 2 • 2 • 2 • 2 = 2•

ж) 512 2 з) 8100 2–5
256 2 810 2–5
128 2 81 3
64 2 27 3
32 2 9 3
16 2 3 3
8 2 1
4 2
2 2
1 2
512 = 2 2–2–2–2–2–2–2– 2 = 29 8100 = 2 –2–3–3–3–3–5–5=
= 22 • З4 52
и) 4096 2 к) 2500 2–5
2048 2 250 2–5
1024 2 25 5
512 2 5 5
256 2 1
128 2
64 2
32 2
16 2
8 2
4 2
2 2
1 2
4096 = 2 to
to
to
to
to
to 2500 = 2 • 2 • 5 • 5 • 5 • 5 = 22 • 54
•2–2–2 • 2 • 2 = 212
л) 888 2 . м) 2525 5
444 2 505 5
222 2 101 101
111 3 1
37
1 37
1
888 = 2 2–2–3–3–7 = 23–3 •37 2525 = 5 О
fN
II
О
645. а) 89 — простое б)123 – – составное
в) 279 — составное г) 335 — составное–
д) 642 — составное е) 601 – простое
ж) 729 — составное з) 835 — составное
и) 1571 — простое к) 2563 – –– простое
л) 7777 — составное м) 442233 — составное
646. а) К примеру, а = 662, b = 2
3 • 662 + 6 • 2 = 1998
б) Потому что сумма 3 • а + 6 b делится на 3, а число 1999 нет.
в) Нет, потому что число 18 • а + 81 ¦ b делится на 9, а число 996 нет.
647. а) 8 = 2 • 2 • 2 • 1 • 1 б) 35 = 7–5– Ь ...1
23 раза

3.5. Наибольший общий делитель
648. а) Числа, не имеющие общих простых делителей, б) 1. в) Ь.

649. 45
15
5
1
650. а) 30
15
5
1
60 2
30 2
15 3
5 5
1
2 • 2 •
5 = 15
36 2
18 2
9 3
3 3
1
3–51

в) 42 2 48 2 г) 120 2 150 •2
21 3 24 2 60 2 75 3
7 7 12 2 30 2 25 5
1 6 2 15 3 5 5
3 3 5 5 1
1 1
30 = 1–2–3 –5; 36 = 1–2 –2 НОД(30, 36) = 1 • 2 • 3 = 6
3–3; 50 = 1 – 2 • 5 • 5; 45 = 1 3 3 5; НОД(50, 45) = 1 • 5 = 5
42 = 1 = 1–2
7; 48 = 2–3
2–
120 = 1 = 1–2–
•2–2
5–5;

НОД(42, 48) = 1
Д) 124 62
31 1 .
124 = i • 2–2 –31; 93=1– 3–Ц;
НОД(124, 93)= 1 •31 = 31
651. а) 48 делится на 24 => НОД(24,48) = 24
б) 62 делится на 31 => НОД(62, 31) = 31
в) 132 делится на 11 => НОД(132, 11)= 11
г) 256 делится на 32 => НОД(256, 32) = 32
д) 45 делится на 15 => НОД(45, 15) = 15
е) 63 делится на 21 => НОД(63, 21) = 21
652. НОД(12321, 111)= 111
653. а) НОД(14, 7) = 7
б) НОД(26, 13)= 13
в) НОД(48, 8) = 8
г) НОД(64, 16)= 16
д) НОД(45, 9) = 9
е) НОД(11,66) = 11

654. а) 24 2 35 5 б) 56 2 99 3
12 2 7 7 28 2 33 3
6 2 1 14 2 11 11
3 3 7 7 1
1 1
24 = 1 • 2 • 2 – 2– 3; 35 = 1–7–5; 56 = 1 •2–2–2–7;99 = 1
НОД(24, 35) = 1 НОД(56, 99) =
в) 63 3 88 2 г) 12 2 25 5
21 3 44 2 6 2 5 5
7 7 22 2 3 3 1
1 11
1 11 1
3–311;
63=1–3 – 3 – 7; НОД(63, 88) = 1
= 1 • 2 • 2 • 2 • 11; Н0Д(12, 25)= 1
12 =1 – 2 • 2 • 3; 25 = 1–5–5;

655. а) НОД( 13, 5) = 1; б) НОД(3, 11) = 1; в) НОД(29, 19) = 1;
г) НОД(54, 55) = 1; д) НОД(62, 63) = 1; е) НОД(98, 99) = 1.
656. Пусть даны два простых числа а и b таких, что а •Ь. Т.к. а и Ъ являются простыми числами, то они раскладываются на множители следующим образом: а = 1 • а\ b = 1 • Ь.
Следовательно, НОД(а, b) = 1, т.к. а Ф Ь.
657. Будем доказывать от противного. Предположим, что существуют два соседних натуральных числа, наибольший общий делитель которых равен 1. Т.е. существуют два натуральных числа а и (а + 1) и натуральное число к больше единицы, которое является делителем чисел а и (а + 1). Тогда числа а и (а + 1) можно представить в виде а = к – /, (а + 1) = к • т, где / и т — некоторые натуральные числа, причем т и / отличаются не менее, чем на единицу.
С одной стороны, (а + 1) – а = к • т – к • / = к • (т – [), с другой стороны, (а + 1) – а = 1, т.е. к • (т – I) = 1, но к > 2 , а (т –1) > 1, следовательно, к(т – /) > 2. Противоречие с тем, что к(т – Г) = 1. Следовательно, не существует двух соседних натуральных чисел, у которых НОД больше 1, что и требовалось доказать.
658. 5 и 7; 14 и 15; 28 и 29; 134 и 135; 726 и 727.
659. а) 320 делится на 40 => НОД(320,40) = 40
б) 233, 79 — простые числа => НОД(233, 79) = 1
в) 278 и 279 – соседние числа => НОД(278, 279) = 1

г) 484 делится на 44 => НОД(484,44) = 44
Д) 84 2 96 2 е) 100 2 175 5
42 2 48 2 50 2 35 5
21 3 24 2 25 5 7 7
7 7 12 2 5 5 1
1 6 2 1
3
1 3
84= 1 • 2 • 2 • 3 • 7; 96 = 100= 1 – 2 – 2 • 5 – 5;
= 1–2 • 2 • 2 • 2 • 2 175= 1 •5–5–7;
НОД(84, 96) = 1 • 2 • 2 3= 12 НОД(ЮО, 175) = 1 – 5

5 = 25
660. Наибольший общий делитель двух чисел не может быть больше этих чисел.
661. а) Т.к. иначе одно из чисел не делилось бы на этот делитель, что противоречило бы определению.
б) Т.к. по определению наибольший общий делитель содержит все общие делители этих чисел.
662. а) а = 23 • З4 • 5 • 72 б) а = 24 • З2 • 52 • 113
6 = 22 • З5 • 52 • 7 Ъ = 2 – 53 7 • 192
б) 15 3 55 5 в) 182 2 82 2
5 5 11 11 91 7 41 41
1 1 13
1
182= 1 13 1
15 = 1 –3–5; 55 = 1–. 511; – 2 • 7 • 13; 82 = 1 –2
НОД(о, Ь) = 21– У • 5 • 7 663. а) 48 делится на 1 =:
НОД(а, Ь) = 2 НОД(48, 1) = 1
2 41;
= 12 = 2

1) 36 2 24 2
18 2 12 2
9 3 6 2
3 3 3 3
1 1
36 = 1 • 2 • 2 • 3 • 3; 24 =

). 2–2–3;
НОД(36, 24) = 1 • 2 • 2 • 3 = 12~
Наибольшее число участников в одной команде — 12 человек.
2) (36 + 24): 12 = 60 : 12 = 5 команд получится.
Ответ: 12 человек; 5 команд.
665. Найдем наибольший общий делитель чисел 184 и 138, это и будет наибольшее число подарков, в которых будет поровну мандаринов и поровну апельсинов.

184 2
92 2
46 2
23 23

184 = I 2 • 2 • 2 • 23; 138 = 1–2–3– 23;
НОД(138, 184)= 1 – 2– 23 = 46 Ответ: 46 подарков.
3.6. Наименьшее общее кратное
666. Произведению этих чисел.
667. НОК(Ю, 15) = 30
668. а) 6 = 2 • 3, 8 = 23 => НОК(6, 8) = 23 • 3 = 8 • 3 = 24
б) 15 = 3 • 5, 25 = 52 => НОК(15, 25) = 3 • 52 = 3 • 25 = 75
в) 16 = 24, 12 = 22 • 3 => НОК(16, 12) = 24 • 3 = 16 • 3 = 48
г) 48 = 24 • 3, 42 = 2 • 3 • 7 => НОК(48, 42) = 24 • 3 • 7 = 336
д) 35 = 5 • 7, 20 = 22 • 5 => НОК(20, 35) = 22 • 5 • 7 = 140
е) 56 = 23 • 7, 63 = З2 • 7 => НОК(56, 63) = 23 • З2 • 7 = 504
669. а) 12 делится на 6 => НОК(6, 12) = 12
б) 40 делится на 8 => НОК(40, 8) = 40
в) 51 делится на 17 => НОК(51, 17) = 51
г) 33 делится на 3 => НОК(33, 3) = 33
д) 34 делится на 2 => НОК(34, 2) = 34
е) 48 делится на 16 => НОК(48, 16) = 48
670. НОК( 123454321, 11111)= 123454321
671. а) НОК(135, 5)= 135; б) НОК(120, 10)= 120; в) НОК((432, 2) = 432;
г) НОК(234, 9) = 234; д) НОК(123, 3) = 123; е) НОК(16, 64) = 64.
672. НОК(а, Ь) = а
673. а) 12 = 23 • 3; 25 = 52 — взаимно простые НОК(12, 25) = 22 • 3 • 52
б) 40 = 1 • 2 – 5; 39 = 1 • 39 — взаимно простые НОК(40, 39) = 23 • 5 • 39
в) 55 = 5 • 11; 42 = 2–3•7 — взаимно простые НОК(55, 42) = 2 • 3 • 5 • 7 • 11
г) 22 = 2 • 11; 51 = 3 • 17 — взаимно простые НОК(22, 51) = 2 • 3 • 11 • 17
д) 48 = 24 • 3; 49 = — взаимно простые НОК(48, 49) = 24 • 3 • 72
е) 39 = 3 • 13; 50 = 2 • 52 — взаимно простые НОК(39, 50) = 2 • 3 • 52 • 13
ж) 17 – 1 • 17; 48 = 24 • 3 ––– взаимно простые НОК(17, 48) = 24 • 3 • 17
з) 11 = 1 • 11; 45 = З2 • 5 — взаимно простые НОК(11, 45) = З2 ¦ 5 • 11
и) 13 = 1 • 13; 50 = 2 • 52 — взаимно простые НОК(13, 50) = 2 • 52 • 13
674. а) НОК(4, 5) = 4 • 5 = 20 б) НОК(3, 11) = 3 ¦ 11 = 33
в) НОК(7, 8) = 7 • 8 = 56 г) НОК(9, 10) = 9 • 10 = 90
д) НОК(5, 13) = 5– 13 = 65 е) НОК(17, 3) = 17 • 3 = 51
ж) НОК(13, 11) = 13 • 11 = 143 з) НОК(Ю, 11) = 10 11 = 110
и) НОК(19, 20)= 19 • 20 = 380
675. а=16,6 = 4; а = 27, 6 = 9; а= 125,6 = 25;
а = 49, 6 = 7; л= 121, 6=11.
676. а) 36 = 22 • З2; 48 = 24 • 3; б) 49 = 72; 50 = 2 • 52
НОК(36,48) = 24 • З2 = 144 НОК(49, 50) = 2 • 52 • 72 = 24 50
в) 14 = 2–7; 15 = 3 –5; г) 99 = З2 • 11; 100 = 22 52;
НОК(14, 15) = 2 • 3 • 5 • 7 = 210 НОК(99,100) = 22 • З2 • 52 11 = 9900
д) 28 = 22 • 7; 21 = 3 • 7; е) 24 = 23 • 3; 23 = 23 ¦ 1;
НОК(28, 21) = 22 • 3 • 7 = 84 НОК(24, 23) = 23 • 3 • 23 = 552.
677. а) 19 и 10 — взаимно простые => НОК(19, 10) = 19 • 10 = 190
б) 110 делится на 11 => НОК(110, 11) = 110
в) 52 делится на 26 => НОК(52, 26) = 52
г) 11 и 23 — взаимно простые => НОК(11, 23) =11 • 23 = 253
д) 88 = 23 • 11, 66 = 2 • 3 • 11; НОК(88, 66) = 23 • 3 • 11 = 264
е) 198 делится на 9 => НОК(198, 9) = 198
678. Наименьшее общее кратное двух чисел не может быть меньше любого из этих чисел.
679. а) Т.к. иначе наименьшее общее кратное не было бы кратно одному из этих чисел, что противоречило бы определению.
б) Т.к. оно кратно обоим натуральным числам, а, следовательно, и их делителям.
680. а)а = 23 • З4 • 5 б)а = 22 –33 –52
6 = 24 • З5 • 52 6 = З2 • 53
НОД(а, 6) = а = 23 • З4 • 5 НОД(я, 6) = З2 • 52
НОК(а, 6) = 6 = 24 • З5 • 52 НОК(а, 6) = 22 • З3 • 53
681. 36 = 22 • З2; 24 = 23 • 3;
НОД(36, 24) = 22 • 3 = 12 НОК(36, 24) = 23 • З2 = 72
НОД(36, 24) • НОК(36, 24) = 12 • 72 = 12 • 2 • 36 = 24 • 36 Выполняется для других пар чисел.
682. а) Пусть а и 6 — простые числа.
Можно считать, что а > 6, тогда НОД(а, 6) = 1, а НОК(а, 6) = а • 6. Имеем:
НОД(я, 6) • НОК(а, 6) = 1 • (а; 6) = а • 6 Что и требовалось доказать.
б) Пусть а и 6 — натуральные числа. НОД(а, 6) = т, НОК(ог, 6) = /. Тогда а и 6 представляются в виде а = к\ • т, b = к2 т, где к\ и к2 — некоторые натуральные числа, а число / — в виде / = к\ ¦ к2 • т, по определению наименьшего общего кратного. Покажем, что / • т = а • 6.
Име?м:
I ¦ т = (к\ • к2 • т) • т = (к\ • т) ¦ (к2 • т) = а ¦ b
То есть НОД(а, Ь) • НОК(а, Ь) = а – Ь, что и требовалось доказать.
683. а) Чтобы узнать длину веревки, нужно найти наименьшее общее кратное чисел 4 и 5:
4 = 2 • 2; 5 = 1 • 5; НОК(4, 5) = 2 • 2 • 5 = 20 Следовательно, наименьшая длина веревки 20 м.
Ответ: 20 м.
б) Чтобы узнать длину веревки, нужно найти наименьшее общее кратное чисел 4 и 6:
4 = 2 • 2; 6 = 2 • 3; НОК(4, 6) = 2 • 2 • 3 = 12 Следовательно, наименьшая длина веревки 12 м.
Ответ: 12 м.
684. Чтобы узнать сумму покупки, нужно найти наименьшее общее кратное чисел 5 и 8.
1) НОК(5, 8) = 40 (р.) — сумма покупки;
2) 40 : 8 = 5 (пачек) — наименьшее количество, которое может купить мальчик.
Ответ: 5 пачек.
685. Найдем наименьшее общее кратное чисел 16 и 28, это будет количество зубцов, которое пройдут помеченными до совпадения.
1) 16 = 24; 28 = 22 • 7; НОК(16; 28) = 24 • 7 = 102;
2) 102 : 28 = 4 (оборотов) — сделает вторая шестеренка;
3) 102 : 16 = 7 (оборотов) — сделает первая шестеренка.
Ответ: 7 оборотов и 4 оборота.
Дополнения к главе 3 1. Использование четности при решении задач
686. Прав. Если чисел будет четное число, то сумма будет четная, если чисел будет нечетное число, то и сумма будет нечетной.
687. Ошибается. Если произведение четырех натуральных чисел нечетное, то эти числа нечетные, а их сумма должна быть нечетной.
688. Нельзя. Если мы будем разрывать лист на 9 частей, то кусков станет на 8 больше, а если будем разрывать на 7 частей, то кусков станет на 6 больше. Разрывая лист на 9 или на 7 частей, мы увеличиваем их общее число или на 8, или на 6 частей, т.е. на четное число частей. Первоначально число кусков 9 — нечетное, и добавляя к нему четное число кусков, невозможно получить четную сумму 100, так как сумма нечетного и четного чисел нечетная.
689. Нельзя. За один ход сумма четырех чисел увеличивается на четное число 2.
Если бы через некоторое количество ходов все четыре числа стали бы равны, то их сумма оказалась бы четной, т.к. сумма четного числа одинаковых слагаемых — четное число.
Первоначальная сумма равна 1 — нечетному числу, и добавляя к нему четное число, невозможно получить четную сумму, так как сумма нечетного и четного чисел нечетная.
690. Нельзя. За один ход сумма денег во всех коробочках увеличивается на 1 + 1 = 2 р., т.е. на четное число.
Если через некоторое количество ходов количество денег во всех коробочках было бы равным, то сумма всех денег оказалась бы четным числом, т.к. сумма четного числа одинаковых слагаемых — четное число. Первоначально сумма равна 1 + 2 + 3+ 4 + 5 + 6 = 21 — нечетному числу, и добавляя к нему четное число, невозможно получить четкую сумму, так как сумма нечетного и четного чисел нечетная.
691.
а) б)

691. Устный.
692. Должно быть два нечетных узла.
693. Фигуру Ь.
694. Устный.
695. Петя живет в доме номер 5, т.к. именно в этом доме находится второй нечетный узел.
Маршрут: Почта — дом № 6 — дом № 7 — дом № 1 — дом № 2 — дом № 3 — дом № 4 — дом № 5.
696. Начать, к примеру, в зале № 2, закончить в зале №11.

699. Устный.

3. Занимательные задачи
700. Потому что все остальные числа будут кратны либо 2, либо 3, либо 5, либо 7.
а) 11 б) 97
701. Нет, при п = 41 число Р делится на 1, на Р и на 41.
702. Пусть в правой руке спрятана монета достоинством а р., в ле
вой — Ь р. Когда умножим число рублей в правой руке на 2, получим (2 • а) р., когда умножим число рублей в левой на 3, получим (3 • Ь) р. В сумме (2 • а + 3 • Ь) р. Таким образом, сумма будет четной, когда b четное, т.е. b — 2 р., нечетной — когда b нечетное, т.е. b —
5 р. Т.е. если сумма четная, то в левой руке 2 р., если нечетная, то 5 р.
703. Если число 5а4Ь кратно 36, то оно кратно 4 и 9, т.е. должны
выполняться условия: 4b делится на 4, (5 + а + 4 + Ь) делится на 9.
т.е. b может принимать значения 0, 4, 8.
при Ь = 0: либо а = 0, либо а = 9;
при b = 4: а = 5
при b = $: а – 1
5040, 5940, 5544, 5148 — искомые числа.
Ответ: 5040, 5940, 5544, 5148.
704. Покажем, что разность задуманного числа и числа с переставленными цифрами делится на 9. Пусть abc=bac = а–100+b–10 +с — задуманное число, можем получить из него числа bac, cab, cba, acb abc – Ьас = (а • 100 + b • 10 + с) – {Ь • 100 + а • 10 + с) =
= а–100 + 610 + с~6100–а–10–с = а–90–6–90 =
= (а – Ь) • 90 = (а – Ь) • 9 • 10 — делится на 9
abc — cab = (а ¦ 100 + Ъ • 10 + с) – (с • 100 + а ¦ 10 + Ь) =
–а\ 00 + 610 + С– С–100–а\0–Ь = а– 90 + 69–с – 99 =
= 9–(д–10 + 6– с–11) — делится на 9
abc – cba = (а ¦ 100 + b ¦ 10 + с) – (с • 100 + b • 10 + а) – = а–100 + 610 + с– с100–610–а = а–99–с–99 =
= (а – с) • 11 • 9 — делится на 9
abc – acb = (а ¦ 100 + b • 10 + с) – (а • 100 +10 • с + Ь) =
= я–100 + 6–10 + с– Я'100–10–с–6 = 6– 9– с– 9 =
= (Ь – с) ¦ 9 — делится на 9
Следовательно, в каком бы порядке мы ни переставили цифры, разность наших чисел будет делиться на 9. А если мы будем знать сумму всех цифр кроме одной, то сможем определить ее, т.к. знаем, что число делится на 9, когда сумма всех цифр делится на 9.
705. 2! = 1 ¦ 2; 3! == 1 –2–3 = 6;
4! = 1 • 2 • 3 • 4 = 24; 5!=1 –23–4–5 = 120;
7! = 1– 2– 3– 4– 5– 6– 7 = 5040
706. а) 99 • 99! + 99! = 99 • 99! + 1 • 99! = (99 + 1) • 99! = 100 • 99! = 100!
б) 1000! – 999! = 1000 • 999! – 999! = (1000 – 1) • 999! = 999 • 999!
707. Число 15! делится на 9, следовательно, сумма его цифр делится на 9.
1+3+6+7+4+3+6+8=38
Следовательно, чтобы число 15! делилось на 9, неизвестная цифра должна равняться 7, т.к. 7 + 38 = 45 — делится на 9.
Ответ: пропавшая цифра 7.
708. а) нет
б) 100! делится на 50! => НОД(ЮО!, 50!) = 50!
в) 100! делится на 50! => НОК(ЮО!, 50!) = 100!
709. Устный.
710. 711.

ГЛАВА 4. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДРОБИ
4.1. Понятие дроби
714. а) 500 г; б) 8 ч; в) 250 кг; г) 125 м; д) 15 мин.
715. а) 5 мм б) 20 мин в) 25 см
716. a) –L б) –i– в) –i– г) ~ Д) е)
60 10 100 60 100 1000
717. а) 1) 100 –^ = 50 (м) — намотали на катушку;
2) 100 – 50 = 50 (м) — лески осталось.
Ответ: 50 м.
б) 1) 36 • — = 9 (м) — провода отмотали;
4
2) 36 – 9 = 27 (м) — провода осталось.
Ответ: 27 м.
718. а) — м = 50 см; б) — м = 20 см; в) — м = 10 см; г) — м = 4 см
2 5 10 25
719. а) В 6 ч 00 мин — часть окружности; в 3 ч 00 мин — часть окружности.
б) За 30 мин — часть окружности; за 15 мин — ^ часть окружно–
1 3
сти; за 20 мин часть окружности; за 45 мин часть окруж–
3 4
2
ности; за 40 мин — — часть окружности.
1 1 5
в) 10 мин — — часть часа; 5 мин — — часть часа; 25 мин — —
6 12 6
« 11
части часа; 55 мин части часа.
12
720. а) — квадрата б) — квадрата в) – Квадрата
2 4 8

 

 

б) 27 : 3 = 9 (м) — веревки отрезали.
Ответ: 9 м.
в) 1) 100–3 : 4 = 75 (м) — каната отрезали;
2) 100 – 75 = 25 (м) — каната осталось.
Ответ: 75 м; 25 м.
728. а) 300 г б) 50 г в) 750 г г) 600 г.
729. а) ––50 = 50:2 = 25; б) ––45 = 45:3 = 15;
2 3
в) —120 = 120:4 = 30; г) —: 10 = 10:10 = 1;
4 10
д) —–80 = 80:20 = 4; е) — –90 = 90:30 = 3.
20 30
730. а) ––.12 = 12–2:3 = 8; б) ––45 = 45–4:5 = 36;
3 5
в) — 140 = 3 140:7 = 60; г) ––96 = 96–5:6 = 80;
7 ' 6
д) —–176 = 176–3:11 = 48; е) ––6 = 6–5:3 = 10.
И 3
731. 1) 3 – 1 = 2 (кг) — картофеля осталось;
2) –j части картофеля осталось.
2
Ответ: — части.
3
732. а) 1) — • 24 = 24:24 = 1 (км) — расстояние от начала маршрута
24
до первой остановки.
2) 24 – 1 = 23 (км) — длина оставшейся части маршрута.
Ответ: 23 км.
б) 1) — • 24 = 24 • 5 :24 = 5 (км) — расстояние от начала маршрута до
24
первой остановки.
2) 24 – 5 = 19 (км) — длина оставшейся части маршрута.
Ответ: 19 км.
3
в) 1) – • 24 = 24 • 3:8 = 9 (км) — расстояние от начала маршрута до
8
первой остановки;
2) 24 – 9 = 15 (км) — длина оставшейся части маршрута.
Ответ: 15 км.
733. а) — работы б) — бассейна в) — пути.
3 5 6
734. а)за 5 часов б)за 6 часов в)за 7 дней.
735. а) на j первоначального расстояния; б) через 4 часа.
1 2
736. а) за 1 ч — — расстояния; за 2 ч — — расстояния;
3 о 8
за 3 ч — — расстояния; за 8 ч — — расстояния.
1 , ' 3
б) 1 день — — недели; 3 солнечных дня — — недели.
ч< 5
в) 5 лампочек от числа всех лампочек.
200
г) Всего было 4 + 3 = 7 цветков, следовательно, белые цветы состав–
3
ляют — всех цветов.
7
737. Устный.
738. а) Число, которое можно представить в виде —, где р и q — на–
Ч
туральные числа, б) Дробь, в) Является.
739. 1, I, 1, «,
3 7 9 8 5
«тлп ч 3 3 3 •ч 2 3 4
740. а) —, –; б) —, —, —.
4 5 6 10 10 10
4 4 6 «ч 1 7
741. а) —, —; б) –, —.
2 4 5 И
4.2. Равенство дробей
742. Если числитель и знаменатель дроби умножить на одно и то же
натуральное число, то получится равная ей дробь.
3 310 30
Пример: — = = —.
5 510 50
743. Дробь, у которой числитель и знаменатель не имеют общих простых делителей.
3
Пример: —.
л1–1'5 4 4–5
Д) — =
25 25–4
50 ” 50•2

?.–1 JL–L JL–L
X 2’ X 4’ X 4’ ^ 7’
2 4 4 7
11 3 9
„4^–1. jL–I– 2•Л– 9 ¦
X 4’ X 3’ X 7’ >0tf 20’
4 3 7 20
5 5 1 1
X _ 5 X = 5. X _ 1.
Х б’ ,W_50’ ^_8’
7 6 50 8
2 9 5 4
Д^_2. 9 X_5. X 4
>^'3’ JKPlO’ X~6’ X~5’
3 10 6 5
8 5 j ' 4' 4
л X 8 >Kf _ 5 X_4 X_4.
X~7’ X~4’ X_3’ X"~3’
7 4 3 3
3 6 39 33
X _3. 6 >5^ _ 39 ^ 33
X~8’ >2(f _ 5 ’ У2& ~ 32’ 24$ ~ 20'
8 5 32 20
ч 1 2 5 « 1 2 5 . 1 2 5
753. a) —, –; 6) —, —, —; в) , –;
1 1 1 2 2 2 3 3 3
I _2_ _5_ 1 2 5
10’ 10’ 10’ 100’ 100’ 100'
4 18 2–9 2 „ 5 5 12 60
754. a) — = = — => л: = 2; 6) — = = — => x = 84;
27 3–9 3 7 7–12 84
20 5–4 5 r 7 7–7 49
в) — = = — =>x = 5; r) — = = — => x –56.
24 6–4 6 8 8–7 56
2 2–6 12
755. a) — = = искомая дробь;
3 3–618
«л 11–7 7 •
о) — = = искомая дробь;
9 9–7 63 Н
ч 5 5–11 55
в) — = = искомая дробь;
II 1111 121 Н
г) Нельзя, т.к. НОД(144; 35) =1.
ч 75 3–25 3 42 2–21 2
756. а) = = —; б) — = = —,
100 4–25 4 63 3 21 3
56 _14–4 _ 14 81 _ 27–3 _ 27
бО'И^'Т?’ 420 _ 140 3 _ 140’
ч 72 3–24 3 „ ч 75 3–25 3 ,
д) — = = – = 3; е) — = – = 3;
' 24 1–24 1 25 1–25 1
35 _517_?. 36 = 9–4 _ 9,
42 ~ 6 • 7 ~ 6 ’ 32 ~ 8–4 ~ 8’
42 6_7_ 6 32 _ 8–4 _ 8
49 ~ 7 • 7 ~ 7 ’ 60 ~ 15–4 ~ 15
___ , 25 125 1 ... 48 6–8 6
757. а) = = —; б) — = = —;
100 4–25 4 56 7–8 7
75 3–25 3 108 3 36 3
125 “ 5–25 “ 5’ 144 ~ 4–36 ~ 4’
600 5 120 5 100 _ 1100 1
720 6 120 ~ 6 ’ 1000 " 10 –100 ~10’
ч 350 7 50 7 ч 250 1 250 1
— — • о| — — — •
1000 20 50 20’ ШОО 4–250 4’
320 1–320 1 800 4–200 4
6400 _ 20•320 ~ 20’ 1000 “ 5•200 ~ 5'
. 30 3 10 3 .. 15 3–5 3
758. а) — = = —; б) — = —;
40 4–10 4 70 14–5 14
125 _ 25 5 _ 25 124 _ 314 31
335 “ 67–5 ~ 67’ 240 ~ 60–4 ~ 60’
254 _127–2 _127 628 "314–2 “ 314'
–тсп ч 12 43 4 123 41 3 41
759. а)— = = —; б) = ;
27 9–3 9 402 134–3 134
54 _ 6–9 _ 6 801 ~ 89–9 ~ 89’
23
г) НОД(23, 29) = 1 => дробь — — несократима;
45
д) НОД(45, 46) = 1 => дробь несократима.
46
760. а) 15=1–3 –5; 35=1–5–7; НОД(15, 35)= 1–5 = 5;
15 3–5 3
б)48=I–2–2–2–2–3;64=i–2–2–2–2–2–2;
НОД(48,64)=1 • 2 • 2 2 • 2= 16; 41 = 441 =
64 4•16 4
в) 60 = 1 • 2 • 2 • 3 • 5; 80 = I • 2 ¦ 2 • 2 • 2 • 5;
НОД(60, 80) = 1–2–2 5 = 20; ^ = =
80 420 4
г) 44 = I • 2 • 2 • П.; 66 = I • 2 • 3 • П.;
44 2–22 2
НОД(44, 66)= 1 • 2 • 11 =22; _ = — =
ОО 5 • 2.L J
д) 34 = 1–2 – И; 51 =1– 3 • Г7; НОД(34, 51)= 117= 17; 342–172
51 _ 3–17 _ 3
_ ч 54 3–18 3 _ 56 14–4 14
761.а)— = = —; б)— = = —;
72 418 4 68 17–4 17
18 _ 9–2 _ 9 81 _3–27 _Зш
64 ~ 32 • 2 ~ 32 ’ 54 ~ 2 • 27 ~ 2 ’
24 2 12 2 56 8–7 _ 8
36 _ 3 –12 ~ 3 ’ 49 _ 7 • 7 _ 7 ’
х 50 2–25 2 ч 48 3 16 3
75 ~ 3• 25 _ 3’ 64_4–16_4’
_5б__Ь5б_1. 18 1–18 1
168 ~ 3–56 _ 3• 54 ~ 3• 18 _ 3’
49 1–49 1 17117 _1.
98 ~ 2• 49 ~ 2’ 51 ~ 3–17 _ 3•
ч 16 1–16 1 % 25 1–25 1
н) — = о) — =
48 316 3 125 3–25 3
15 _ 115 _ 1 75 ~ 5 • 15 ~ 5
4.3. Задачи на дроби
762. а) Нужно число 30 умножить на числитель дроби 5 и разделить на знаменатель 3.
–•30 = 30–3:5 = 18.
5
б) Нужно число 30 умножить на знаменатель дроби 5 и разделить на числитель 3.
30 • 5 : 3 = 50.
763. а) Будем считать, что 12 птиц — это три третьих доли, сначала найдем одну третью от 12, а потом две третьих от 12:

1) 12:3 = 4 (птицы);
2) 4 • 2 = 8 (птиц).
Ответ: 8 птиц.
б) Будем считать, что 32 учащихся — это четыре четвертых доли, сначала найдем одну четвертую от 32, а потом три четвертых от 32:
1) 32 :4 = 8(уч.);
2) 8 • 3 = 24 (уч.).
Ответ: 24 учащихся.
764. а) Будем считать, что 48 км — это три третьих доли, сначала найдем одну треть от 48, а потом две третьих от 48:
1) 48 : 3 = 16 (км) — одна доля;
2) 16–2 = 32 (км) — проехали в первый день;
3) 48 – 32 = 16 (км) — проехали во второй день.
Ответ: 16 км.
б) Будем считать, что 35 рублей — это семь седьмых доли, сначала найдем одну седьмую от 35, а потом пять седьмых от 35:
1) 35 : 7 = 5 (р.) — одна доля;
2) 5 • 5 = 25 (р.) — потратили;
3) 35 – 25 = 10 (р.) — осталось.
Ответ: Юр.
в) Будем считать, что 24 страницы — это восемь восьмых доли, сначала найдем одну восьмую от 24, а потом пять восьмых от 24:
1) 24 : 8 = 3 (стр.) — одна доля;
2) 5–3=15 (стр.) — исписала девочка;
3) 24 – 15 = 9 (стр.) — осталось неисписанными.
Ответ: 9 страниц.
765. Будем считать, что 360 км — это пять пятых доли, сначала найдем одну пятую от 360, а потом две пятых от 360. После этого будем считать, что 360 км — это восемь восьмых доли, сначала найдем одну восьмую от 360, потом найдем три восьмых от 360:
1) 360: 5 = 72 (км);
2) 72 • 2 = 144 (км);
3) 360 : 8 = 45 (км);
4) 3–45= 135 (км);
5) 360 – 144 — 135 = 81 (км) — проехали туристы в третий день. Ответ: 81 км.
766. а) Будем считать, что 24 девочки — это восемь восьмых доли, сначала найдем одну восьмую от 24, а потом три восьмых от 24:
1) 24 : 8 = 3 (уч) — одна доля;
2) 3 • 3 = 9 (уч) — составляют мальчики;
3) 24 + 9 = 33 (уч) — занимается в драмкружке.
Ответ: 33 учащихся.
6) Будем считать, что 45 монет — это девять девятых доли, сначала найдем одну девятую от 45, а потом две девятых от 45:
1) 45 : 9 = 5 (м) — одна доля;
2) 5 • 2 = 10 (м) — достоинством три и пять рублей;
3) 45 + 10 = 55 (м) — всего в коллекции Ответ: 55 монет.
767. а) Будем считать, что искомое число рублей состоит из четырех четвертых долей. По условию его три четвертых равны 12. Сначала найдем одну четвертую первоначальной суммы, а потом и четыре четвертых:
1) 12:3 =4 (р);
2) 4 –4 = 16 (р).
Ответ: 16 р.
б) Будем считать, что длина отрезка состоит из пяти пятых долей. По условию ее три пятых равны 15. Сначала найдем одну пятую первоначальной длины, а потом и пять пятых:
1) 15 : 3 = 5 (см);
2) 5 • 5 = 25 (см).
Ответ: 25 см.
768. а) Будем считать, что возраст отца составляет семь седьмых долей. По условию его две седьмых равны 10. Сначала найдем одну седьмую первоначального возраста, а потом и семь седьмых:
1) 10:2 = 5 (л.);
2) 5 • 7 = 35 (л.).
Ответ: 35 лет.
б) Будем считать, что возраст матери составляет пять пятых долей. По условию его две пятых равны 12. Сначала найдем одну пятую первоначального возраста, а потом и пять пятых:
1) 12 : 2 = 6 (л.);
2) 6 • 5 = 30 (л.).
Ответ: 30 лет.
769. а) 1) 504 : 3 = 168 (кг) — моркови собрали со второго участка;
2) 504 + 168 = 672 (кг) — моркови собрали всего;
3) у–672 = 672:3 = 224 (кг) — моркови израсходовали.
Ответ: 224 кг.
б) 1) 663 т 600 кг = 633600 кг;
2) 633600 : 2 = 316800 (кг) — свеклы привезли во второй день;
3) 633600 + 316800 = 950400 (кг) — свеклы привезли всего;
4) —–950400 = 950400:6 = 158400 кг = 158 т 400 кг — сахара полу–
6
чилось.
Ответ: 158 т 400 кг.
в) 1) –• 3672 = 3672:3 = 1224 (кг) — израсходовали в первый месяц;
2) 144 : 2 = 612 (кг) — израсходовали во второй месяц;
3) 3672 – 1224 — 612= 1836 (кг) — израсходовали за третий и четвертый месяцы;
4) 1836 : 2 = 918 (кг) — израсходовали в третий и в четвертый месяцы.
Ответ: 918 кг.
770. Если считать, что сумма, которую получила дочь, составляет одну часть, то сумма, которую получил каждый брат, составляет две части, а вместе сумма, которую получили три брата и дочь, составляет семь частей.
1) – • 48000 = 48000:8 = 6000 (р.) — получила мать;
8
2) 48000 – 6000 = 42000 (р.) — получили братья и сестра вместе;
3) 42000 : 7 = 6000 (р.) — приходится на 1 часть (получила сестра);
4) 6000 • 2 = 12000 (р.) — получил каждый брат.
Ответ: по 6000 р. сестра и мать, по 12000 р. каждый брат.
771. 1) 18•6 = 108 (р.) — было у хозяйки;
2) 24 • 2 = 48 (р.) — потратила хозяйка на яблоки;
3) 108 – 18 – 48 = 42 (р.) — осталось у хозяйки.
Ответ: 42 р.
772. 1) 96 • 3 = 288 (р.) — было у отца;
2) 288 – 96 – 156 = 36 (р.) — стоили книги.
Ответ: 36 р.
773. Будем считать, что возраст отца составляет девять девятых долей. По условию его две девятых составляют 8. Найдем одну девятую первоначального возраста, а после и девять девятых:
1) 8 : 2 = 4 (г.) — одна доля;
2) 4 • 9 = 36 (л.) — возраст отца.
Теперь будем считать, что возраст дедушки составляет пять пятых долей. Мы узнали, что три пятых его возраста равны 36. Найдем одну пятую первоначального возраста дедушки, а потом и пять пятых:
3) 36 : 3 = 12 (л.) — одна доля;
4) 12 • 5 = 60 (л.) — возраст дедушки.
Отбет: 60 лет.
774. а) 1) 90 : 10 = 9 (р.) — составляет — от 90 р.;
10
2) 90–9 = 81 (р.)
. Ответ: 81.
2
б) 1) 80 • 2 : 5 = 32 (р.) — составляют — от 80 р.;
776. 1) 4800 –2:5= 1920 (p.) — на столько увеличилась зарплата;
2) 4800 + 1920 = 6720 (р.) — составляет новая зарплата.
Ответ: 6720 р.
777. Будем считать, что треть стада составляет три третьих долей. По условию две трети от трети всего скота составляют 70. Найдем одну треть, а после и три трети:
1) 70 : 2 = 35 (быков);
2) 35 • 3 = 105 (быков).
Теперь будем считать, что стадо составляет три третьих доли. Мы знаем, что одна треть составляет 105 быков, найдем три трети:
3) 3 • 150 = 315 (быков).
Ответ: 315 быков.
4.4. Приведение дробей к общему знаменателю
778. а) Любые.
б) К наименьшему общему знаменателю.
1 2 1 10
779. а) — две четвертых; б) — десять двадцатых;
2 4 .2 20
. 1 10
в) — = десять тридцатых.
3 30
„оп ч2 2° –28 . 2 16 .2 68
780. а) — =—; б) — = —; в) — = —; г) — = .
3 30 3 12 3 24 3 102
781 a) i = — = — 6)1 = — =—' в)–=— = —¦
2 2–6 12’ 3 34 12’ 3 3–4 12’
2_3j2__9_. = 3 3–6 18
4 ~ 4–3 ” 12’ 6 _ 6• 2 _ 12’ 2 2–6 12'
782 I–Li –I2– 1 = = 1 7–2 – 14
‘ 2_212_24’ 4 ~ 4 • 6 ~ 24 ’ 8~8–3_24’ 12 12–2 24'
783 1 _118_18. 1_112_12. 2_24_ 8. 5 5 2 10
2 ~ 218 ~ 36’ 3 ~ 312 _ 36’ 9 ~ 9–4 _ 36’ 18 _ 18–2 “ 36'
784 a) I– — — б) ! = — = —• 1 _ 12 _ 2 .
• 2_2–3_б’ 3_3–2_б’ 2~2–5~10’ 5~5–2 10’
L–llL–2.– I–IJ.–A. 1 – 19 – 9 • 1 – 12 – 2 •
2 _ 2–7 _ 14’ 7 ~ 7–2 ~ 14’ 2 ~ 2–9 ~ 18’ 9 ~ 9–2 ~ 18’
I– H–2. 2–1^–1. ! ! 5 _ 5 3 3–2 6
2 _ 2 • 3 "" 6 ’ 3 ~ 3–2 ~ б’ 2 ~ 2 • 5 ~ 10 ’ 5_5–2_10’
. 1 = 1–7 ^ 7 6_6:2_12 —_2_– 7_7'2_14.
2 ~ 2–7 ~ 14’ 7 ~ 7–2 ~ 14’ 2~2–9_18’ 9_9–2_18’

785. а) Н0К(2,4) = 4 => наименьший общий знаменатель равен 4.
112 2
2 ~ 2–2 ~ 4
б) НОК(3, 6) = 6 => наименьший общий знаменатель равен 6.
12–2 2
3 ~ 3–2 ~ 6
в) НОК(4, 12) = 12 => наименьший общий знаменатель равен 12.
1 1–3 3
4 _ 4–3 "" 12
г) НОК(5, 30) = 30 => наименьший общий знаменатель равен 30. 11–6 6
5 ~ 5 – 6 ~ 30
д) НОК(3, 9) = 9 наименьший общий знаменатель равен 9.
2 2 3 6
3 "3–3"9‘
е) НОК(8, 16) = 16 => наименьший общий знаменатель равен 16.
7 _ 7 • 2 _ 14
8 _ 8–2 " 16'
ж) НОК(ЮО, 20) = 100 => наименьший общий знаменатель равен 100.
1 _ 1–5 _ 5
20 _ 20–5 “ 100
з) Н10К(50, 150) = 150 наименьший общий знаменатель равен 150.
3 _ 33 _ 9
50 ~ 50–3 ~ 150
114
113 3 1 1–2 2
786. а) НОК(4, 6) = 12; –j = =
4 4–3 12 6 6–2 12
11–5 5 1 1–2 2
б) Н0К(4, 10) = 20; — = ± = J–L = –L;
4 4 5 20 10 10–2 20
1 1–4 4 1 1–3 з
в) НОК(6, 8) = 24; — = —— = —; – = — =
6 6–4 24 8 8–3 24
11–3 3 1 1–2 2
г) НОК(6, 9) = 18; — = —— = —; ! = — = —;
6 6–3 18 9 9–2 18
11–3 3 1 1–2 2
д)НОК(Ю, 15) = 30; — = ± = —– =
10 10–3 30 15 15–2 30
__ 1 1–5 5 1 1–2 2
е) НОК(Ю, 25) = 50; — = = —; — = = —;
10 10–5 50 25 25–2 50
11–4 4 1 1–3 3
ж) НОК(30,40)= 120; — = — = –L± = —;
30 30–4 120 40 40–3 120
11– 5 5 1 1–3 3
з) НОК(30, 50) = 150; — = —— = ——; = =
30 30–5 15Q 50 50–3 150
1 16 6 11–7 7
70 ~ 70–6 “ 420’ 60 ” 60–7 _ 420’
и) НОК(70, 60) = 420;
I 1–8 8 1 1.S S
к) НОК(50, 80) = 400; — = —— = ——; _ = =
50 50–8 400 80 80–5 400
л) НОК(60, 15) = 60; — = —– = —;
15 15–4 60
м) НОК(24, 120)= 120; — = –Ll = —;
24 24–5 120
н) НОК(50, 25) = 50; — = —– = —;
25 25–2 50
II 11–5 55
о) НОК(200,40) = 200; п) НОК(17, 34) = 34;
17 17–2 34
р) НОК(40, 25) = 200; — = 2± = il; _Z_ = _Z± = _H.
40 40–5 200 25 25–8 200
2 2–4 8 5 5–5 25
787. а) НОК(15, 12) = 60; — = — = —; _ = _ =
15 15–4 60 12 12–5 60
5 5–2 10 7 7–3 21
б)НОК(12, 8) = 24; — = –L = –Li = ±i;
12 12–2 24 8 8–3 24

В)НОК(17.34,– 34;А„?1_Н;
г)Н0К(16, 12) = 48; — = –^1 = —; А = =
16 16 3 48 12 12–4 48
7 7–7 49 3 3–3 9
д) НОК(33, 77) = 231; — = ——– = ; — = = –—:
33 33–7 , 231 77 77–3 231
2 2–2 4 5 5–5 25
е) НОК(55, 22) = 110; — = ——– = ; — = = ;
55 55–2 110 22 22–5 110
4 4–4 16 3 3 3 9
15 15–4 60 20 20 3 60
5 5–9 45 8 811
121 121–9 1089 99 99–11 1089
11–7 7 1 1–9 9
и) НОК(72, 56) = 504; — = = ; — = = ;
72 72–7 504 56 56–9 504
1 1–3 3 1 1–2 2
к) НОК(48, 72) = 144; — = —– = ; — = = ;
48 48–3 144 72 72–2 144
л) НОК(77, 44) = 3.08; — = –И =—; — = :
77 77–4 308 44 44–7 308
11–4 4 1 1–3 3
м) НОК(51,68) = 204; — = = ; — = ;
V 51 51–4 204 68 68–3 204
5 5–3 15 7 7–2 14
36 ~ 36–3 ~108’ 54 _ 54–2 _108’
о)НОК(35,42) = 2Ю; — =•^– = — ¦ ll = ilii = —;
35 35–6 210 42 42–5 210

„ол 15 18 15 3–5 3 18 3–6 3 3 3
789. б) — и —, т.к. — = = — и — = = — и — = —, то
20 24 20 4–5 4 24 4–6 4 4 4
11 = Л–
20 ~ 24 ’
20 Ь6 20_±1_ 16 4–4 4 4 4 20 = J_6
35 И 28’ ТК' 35 “ 7–5 “ 7 И 28 ” 7–4 ~ 7 И 7~7’ ™ 35~28’
ч 12 15 12 2–6 2 15 3–5 3 2 3 12 15
г) — и —, т.к. — = = — и — = = — и — Ф —, то —Ф—;
30 25 30 5–6 5 25 5–5 5 5 5 30 25
ч 18 27 18 9–2 9 27 9–3 9 9 9
д) — и —, т.к. — = = — и — = — и — =—, то
22 33 22 11 2 11 33 11–3 11 11 11
_18__ 27.
22 " 33’
30 36 30 30 7 _ 210 36 36–6 216 210 216
48 И 56’ ТК' 48 _ 48 –7 ~ 336 •• 56 " 56–6 ~ 336 И 336 • 336’
30 36
то —Ф—;
48 56
56 82 56 56–9 504 82 82–7 574
84 И 108’ Т К’ 84 " 84–9 " 756’ 108 ~ 108–7 ~ 756 “
504 574 56 82
Ф , то —Ф ;
756 756 84 108
121 45 121 121 3 363 45 45 • 11 _ 495
77 И 21’ Т'К‘ 77 ~ 77 –3 ~ 231 И 21 _ 21–11 ~ 235 И
363 495 121 45
ф , то —Ф—;
231 231 77 21
49 34 34_ 2–17 _ 2
63 И 85’ Т‘К' 63~9–7_9~9–5~45 И 85–5–17_5_ 2–9 _ 18 35 ]8_ 49 34
~ 5 – 9 ~ 45 И 45 45’ Т° 63 85•
4.5. Сравнение дробей
790. а) Из двух дробей с общим знаменателем больше та дробь, у которой числитель больше.
б) Приводит дроби к общему знаменателю, а затем применяют правило сравнения дробей с общим знаменателем.
791. а) Дробь, у которой числитель меньше знаменателя.
б) Дробь, у которой числитель больше знаменателя или равен ему.
792. а) Правильная дробь меньше 1.
б) Неправильная дробь больше или равна 1.
в) Правильная дробь всегда меньше неправильной.
793. Устный.
3 см
12 см
794. а) I н—I 1—I 1 1 1 1 н
2 см
12 см
б) I I 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
А С В
АВ>С,ВС>АС,ВС<АВ.
ч 1 4 „2 1 ч 7 8
795. а)—<—; б) — ; в)—<—;
5 5 7 7 15 17
ч 7 6 27 33 ч 1700 1800
г) —>—; д) < ; е) < .
81 81 100 100 1995 1995
in• ч 3 16 2 16 ч 7 27 ч 1 5 ч 1 25 ч 3 75
796. а) — •—;б) — Ф—; в) — •—; г) — = ;д) — = ; е) — = .
5 10 3 21 5 20 2 100 4 100 4 100
___ . 3 7 3 3–5 15 7 7–2 14 15 14
797. а) — и —; т.к. — = —, — = — и —>—, то
8 20 8 8–5 40 20 20–2 40 40 40
3 2_
8 20'
3
Ответ: — кг конфет.
1 9 119 9 9 9 1 9
б) — и —; т.к. — = = — и —–—, то — = —.
2 18 2 2–9 18 18 18 2 18
Ответ: они равны.
ч 1 1 1 1–3 3 1 1–2 2 3 2 11
798. а) — и —; т.к. — = = —, — = = — и — , то — >—.
2 3 2 2–3 6 3 3–2 6 6 6 2 3
1 1 11–44 11–7 7 4 7 11
б) — и —; т.к. — = =—, — = –— и'—<—, то — <—.
7 4 7 7–4 28 4 4:7 28 28 28 7 4
х 2 2 2 2–3 6 2 2–5 10 6 10 2 2
в) — и —; т.к. — = —, — = –— и —<—, то —<—.
5 3 5 5–3 15 3 3–5 15 15 15 5 3
4 3 3 3 3–7 21 3 3–5 15 21 15 3 3
г) — и —; т.к. — = = —, — = = — и —>—, то — >—.
5 7 5 5–7 35 7 7–5 35 35 35 5 7
7 7 7 7 15 105 7 7 –13 91 105 91
д) — и —; т.к. — = = , — = и > , то
13 15 13 13–15 195 15 15–13 195 195 195
!_ i_
13 > 15'
. 8 8 8 8 11 88 8 8–7 56 88 56 8 8
е) — и —; т.к. — = —, —– ––— и —>—, то —>—.
7 11 7 7–11 77 11 11–7 77 77 77 7 11
a Q
799. Пусть даны дроби — и —, причем Ь > с, покажем, что тогда
Ь с
а–Ь а–Ь ас а–Ь . а а
= и < , т.к. с < Ь, то — < —, что
с–b be be be Ь с


1,6, 16
— < 1, — > 1, то — < —.
2 5 2 5
2 , , 5 2 5
в) Т.к. — <1, 1 < —, то — < —.
5 2 5 2
П , , 7 17 7
д) Т.к. — >1, 1 > —, то — > —.
3 8 3 8 /
М1 ,1 1 1 2 3 13
801. а) =>–<—;
3 2 2 4 4 3 4
1 1 1 3 5 15
4 2 2 6 6 4 6
.2 4 5 1 1 4 5 2 5
в) — = — < — =—; — – — < — => — <—;
5 10 10 2 2 8 8 5 8
.4 8 5 1 1 7 6 3 43
г) –– — > — = –; – = — > — = – =>
5 10 10 2 2 14 14 7 5 7
. J_=±1>±1=L 1=11 !!=А !_> А.
13 ~ 26 > 26 ~ 2 ’ 2 ~ 34 > 34 ~ 17 ^ 13 > 17 ’ _8__]6 Г7 _1 1__19 20_10 Ъ_ 10
17 ” 34 < 34 ~ 2’ 2 ~ 38 < 38 _ 19 ^ 17<19'

802. а) Дополнение до единицы первой дроби — —, до второй —

б) Дополнение до единицы первой дроби , до второй —

в) Дополнение до единицы первой дроби
г) Дополнение до единицы первой дроби —, до второй —.
40 39
^,1 1 39 38
Т.к. —>—, то —>—.
39 40 40 39
д) Дополнение до единицы первой дроби —, до второй —.
99 98
^11 98 97
Т.к. —<—, то —<—.
99 98 99 98
е) Дополнение до единицы первой дроби — —–—, до второй —
1996
1^1 1 1995 1996
–. Т.к. > , то <
1997 1993 1997 1996 1997
803. а) Результативность Алёши — т.к. он имел 5 попаданий из
3
10 выстрелов, результативность папы — т.к. он имел 3 попадания
из 5 выстрелов.
3__6_ _5_
5 ~ 10 10'
Следовательно, результат папы лучше.
Ответ: у папы результат лучше.
б) Результативность Саши — т.к. из 10 бросков он имел 6 попа–
5
даний, результативность Коли — —, т.к. он имел 5 попаданий из 8
8
бросков.
_6_ _ 24 25 _ 5
10 ~ 40 40 “ 8'
Следовательно, результат Коли лучше.
Ответ: у Коли результат лучше.
804. Найдем все числа а, такие что:
5 а 1
— < — < —, где а — натуральное число.
9 10 9
Приведем дроби к общему знаменателю:
5 510 _ 50 а 9 а 9–а 7 7–10 _ 70 50 9 а 70о
9 _ 9 ¦ 10 _ 90 ’ То _ 9 • 10 ~ 90 9 910 90’ 90 90 90'
Таким образом, нужно найти числа а, такие что:
50 < 9 • а < 70 и а — натуральное число.
Неравенство выполняется при а = в,а–1.
Следовательно, искомые дроби — и —.
10 10
Ответ: —, —.
10 10
805. Найдем все числа а, такие что:
3 13 3
Приведем дроби к общему знаменателю:
1 113 13 а а–3 За 2 2 13 26 13 За 26
3 _ 313 ~ 39’ 13 ~ 13–3 _ 39 3 ~ 313 ~ 39’ 39 39 39'
Таким образом, нужно найти числа а, такие что:
13 < 3 ¦ а <26 и а — натуральное число.
Неравенство выполняется при а = 5, а = 6, а = 7, а = 8.
Следовательно, искомые дроби —, —, —, —.
Н 13 13 13 13
Ответ: А, А, 1, 1.
13 13 13 13
4.6. Сложение дробей
806. а) Сумма дробей с общим знаменателем есть дробь, числитель которой равен сумме числителей, а знаменатель равен знаменателю данных дробей.
б) Приводят дроби к общему знаменателю, а затем применяют правило сложения дробей с общим знаменателем.
1 3
807. На рисунке одним цветом выделена — круга, другим кру–
8 8
га. В объединении они дают половину круга, т.е.
808.

ч 3 3 6 3 1 2 3
808. а) —с + —с = —с = —с; б) — ч +—ч = — ч = 1ч;
10 10 10 5 3 3 3
ч 3 21 24 6
в) м + м = м = м.
100 100 100 25
«МП Ч 1 7 8 4 1 4 5 1
809. а) —а + — = —а = —а; б) га + га = га = —га;
10 10 10 5 100 100 100 20
ч 127 123 250 1 , 17 983 1000 ,
в) км + км = км = —км; г) т + т = т = 1 т.
1000 1000 1000 4 1000 1000 1000
о,, ч 1 3 4 ^112, .7 4 И
810. а) — + — б)—+ —= —=1; в)— +— = —;
5 5 5 2 2 2 10 10 10
1– + 1–––1– )— + A–A–I– е)—+ – = — = –
8 + 8 ~ 8 ~ 16 + 16 _ 16 ~ 2’ 20 + 20 ~ 20 2
0. , ч 14 2 16 11 12 23 . 17 12 29
811. а)— + — = —; б)— + — = —; в)— + — = —;
27 27 27 35 35 35 60 60 60
32^23 55 ^ чА + А–ii–i. е)Л + Л–11–1
55 + 55 ~ 55 33 + 33 ~33~3’ 48 + 48 _48~2'
812. Сумма двух правильных дробей может быть как правильной, так и неправильной дробью.
Пример: — + –j=–j — правильная дробь; – j+~=— — неправильная дробь, ч 1 1 1 3 , „12 3 6
813. а) —I—н— — — — 1; б) —I 1— — —,
3333 5555
,3216 ч 7 7 1 15 1
в) —I 1— — —; г) 1 1 — — — —;
7 7 7 7 30 30 30 30 2
.3 2 1 6 3 .7 5 1 13 1
д) 1 1 — — — —; е) 1 1 — — ——.
10 10 10 10 5 26 26 26 26 2
etc ч 1 1 1 1 4 п •ч 1 2 1 5 9 а
814. а) —I 1 1— — — — 2; б) —I—I—i— — — — 3,
22222 33333
в) А+А+А–12–I– ЧА A+iL+lL–fi–i–
13 + 13 + 13_13_ ’ 96 + 96 + 96 + 96 ~ 96 ~ 2 ’
_1_ + ]5 Г7 _9__42 19 53 37 21 130 5
42 + 42 + 42 + 42 ~ 42 _ ’ 78 + 78 + 78 + 78 ~ 78 “ 3 ‘
815. а) На рисунке одним цветом выделен прямоугольник, соответст–
„ 1
вующии —, другим цветом — прямоугольники, соответствующие
1.
2 4
б) На рисунке одним цветом выделены прямоугольники, соответст–
1
вующие —, другим цветом — прямоугольники, соответствующие
—. В объединении они дают 1 всего прямоугольника.
3 6
3 + 4_3–4 + 4–3 ~ 12 ~ 12’
115 14 5 + 4 9
Г) 4 + 5 ~ 4–5 + 5 –4 ~ 12 ~12’
1 1 1–2 I 2 + 1 3
2 + 4_2–2 + 4~ 4 4•
11 1–2 12 + 13 1
е) —I— — 1— — — — — —;
3 6 3–2 6 6 6 2
13 + 14 2
2 + 6 _ 2–3 + 6 ~ 6 ~6_3’
^1 I–ill 1 _ 2 + 13
4 + 8 ~ 4–2 + 8 ~ 8 _ 8
otft . 1 7 110 7 10 + 7 17
819. а) —t– 1 = — ,
10 100 10–10 100 100 100
21 1 _ 21 1 10 21 + 10 31
100 + 10 ~ 100 + 10•10 _ 100 ~юо’
3 _9__ 312 9 6 + 9 15 3,
5 + 10 _ 5–2 + 10 _ 10 10 2’
2 5 _ 2–2 5_4 ?_9_3.
3 + б"’з–2 + 6_6 + 6~6_2’
15 , 3 _ 15 3–3 15 + 9 24 t
Д' 24 + 8 ~ 24 + 8 • 3 “ 24 ~ 24 ~ ’ 7+_16_ 7:3 16 21 + 16 37
6 + 18 ~ 6–3 + 18 ~ 18 “ 18’
_1_ 1__J_ 1–2 _ 1 + 2 _ 1 + 2 _ 3 _ 1
12 + 6 _ 12 + 6–2 ~ 6–2 ~ 12 12 _ 4’
1 3 _ 1–5 3 5 + 3 8 4

36 9 36 9 4 36 36’
24 t 3 _ 8 + 3 _ 11

5 20 ~ 5–4 20 20 20’
J_ 5__Ь2^ 5 2 + 5 _ 7 ,
6 + 12~6–2 + 12~ 12 ~~ 12’
JLL 6_П_ 6–7 11 + 42 _ 53
Г) 49 + 7~49 + 7–7~ 49 ~49’
13 5 5–3 _ 13 + 15 28
24 + 8 _ 24 + •Гз ~ 24 ~24’
3 _6__3–4 6 _ 12 + 6 18
8 + 32_8–4 + 32~ 32 ~32’
6 _3__J_ _3_ _4__J_
120 + 20 _ 20 + 20 _ 20 ~ 5’
50 _ 9 J___9_ _8__17
16 + 100_16 + 2~16 + 16_1б'
ч 1 1 1–3 1–2 3 + 2 5
821. а) —I— — 1 — — —:
6 9 6–3 9–2 18 18
2 5_2–2 5–3 _J_ _15_19
9 + 6~9–2 + 6– 3~18 + 18_18’
2 3_2_–8 3 9 16 + 27 43
9 + 8 ~ 9–8 + 8–9 ~ 72 ~72’
2
—ь 6 _ 2–3
•+• 6–2 6 + 12
10 15 10–3 15–2 30
3
h 2 _ 3–6 ¦ + 2–5 18 + 10
10 12 10–6 12–5 60
5
h 4 5–5
" 1 " + 4–4 25 + 16
12 15 12–5 15–4 60

2 5–2 27 + 10 _ 37
4 + 18 _ 4–9 + 18–2 ~ 36 ~3б’
_2_ _3___1_
26 + 39 ~ 13 + 13 ~ 13’
1_ _5__ J7_ 5–2 7 + 10 17 _ 1,
34 + 17 _ 34 + 17 • 2 ~ 34 ~34_2’
4 5 _ 4–2 5–3 _ 8 + 15 _ 23
210 + 140 ~ 210–2 + 140–3 ~ 420 ~420’
450 + 180 ~ 450 •2 +180•5 ~ 900 ~ 900 ~ 100 ’
9 7 _ 9–2 7–3 18 + 21 39 = 13
180+120~180–2+120–3 _ 360 _ 360 “ 120
ч 1 4 9 1–7 4–4 9 7 + 16 + 9 32 8
822. а) — + — + — = + + — = = — = –;
4 7 28 4–7 7–4 28 28 28 7
_ 1 _3_ _7__Ь4 3–2 7 4 + 6 + 7 _ 17
5 + 10 + 20 ~ 5–4 + 10–2 + 20 20 ~20’
^ _3_ 1_ _2___3_ _7_ J_ 4–3 7–2 _
20 + 30 + 40 ~ 20 + 30 + 20 ~ 20 + 30 + 20–3 + 30–2 ~
12 14 26 13
60 ~зо"зо’
Г7 23 11 _ 17–3 23–2 11 51 + 46 + 11 108 9
20 + 30 + 60 _ 20 • 3 + 30 • 2 + 60 ~ 60 _60_5’
3 1_ 9 3–15 7–10 9–6 45 + 701 + 54 169
20 + 30 + 50 ~ 20–15 + 30–10 + 50–6 _ 300 ~300’
1_ И 13 7–21 11–12 13–28 147 + 132 + 364 643
40 + 70 + 30 _ 40–21 + 70–12 + 30–28 _ 840 _840'
в„ ч 3 1 2 _ч 7 5 2
823. а) — — —I—б) — — — + —,
5 5 5 9 9 9
ч 5 3 2 ч 3 1 2
в) — = — +—; г) —– — +—.
7 7 7 10 10 10
_ ч 1 2 3 , 2 5 7 .5 4 9,
824. а)–+— = — = 1; б) —+ —= —= 1; в) – + — = —= 1;
332 777 999
13 + 13 ~ 13 ~ ’ 41 + 41 _ 41 ~ 27 + 27 27
ч 6 5 3–2 5–1 2 1 3
825. а) 1 — 1 1— — —,
15 25 5–3 5–5 5 5 5
6} 10 | 3 _2‘5 t 1–3 _5 ( 3_8_
16 + 24–2–8 + 3–8–8 + 8_8~ ’
30 _8__ 5^ 4^2 _ 6 2 8
45 + 36 _5–9 + 4–9_9 + 9_9’
60 | 75 _ 1–60 | 1–75 _ 1 | 1 _
120 + 150 " 2–60 + 2 –75 ~2 + 2~ ’
24 16 _ 2–12 161 2 _1_ _3___1_
360 + 480 ~ 30–12 + 16–30 ~ 30 + 30 " 30 " 10'
2 1 3
826. — + — = – (части) — прочитала девочка.
3
Ответ: — части.
5
827. а) — + — = – = 1 (торт)
8 8 8
Ответ: да.
7 1 7 1–8 7 + 8 15 .
б) (– —= — + = = — (рукописи)
16 2 16 2–8 16 16
Ответ: нет.
2 3 5
828. 1) —ь — = — (поля) — вспахали два тракториста;
7 7 7
2) 10 • 7 : 5 = 14 (га) — площадь всего поля.
Ответ: 14 га.
0„Л х 1 1 1–3 1–2 3 + 2 5
829. а) —+ – = + = = — (бассейна)
2 3 2–3 3–2 6 6
Ответ: — бассейна.
6
1 1 1–6 1–9 6 + 9 15 5 , _ ч
б) — + —= + = = — = — (работы)
12 8 12–6 8–9 72 72 24
5
Ответ: — работы.
24
ч 1 1 1–6 1–5 6 + 5 11 ,
в) — + — = н — (расстояния)
10 12 10–6 12–5 60 60
П
Ответ: на — расстояния.
4.7. Законы сложения
р г г р
830. а) От перестановки слагаемых сумма не меняется: — + — = — + —.
q s s q
б) Чтобы к сумме двух чисел прибавить третье число, можно к пер
вому числу прибавить сумму второго и третьего:
'P+L
^q s J п q \s п
831. а) Выполняется; б) выполняется.
832. Можно.
833. а) АС = 3 см; СВ – 9 см.
б) Вне зависимости от того, как расположить отрезки АС и СВ, в объединении они дадут отрезок АВ.

834. а) 13 + (15 + 12) = (13 + 12)+ 15 = 25+ 15 =40;
б)21 +7+ 13 = 21 +20 = 41;
в) 19 + (37 + 11) = (19 + 11) + 37 = 30 + 37 = 67;
г) 37+ 14 + 26 = 37 + 40 = 77;
д) 2 + 7 + 8 + 3 = (2 + 8) + (7 + 3) = 10 + 10 = 20;
е) 9 + 7 + 3 + 1 = (9 + 1) + (7 + 3) = 10 + 10 = 20;
ж) 15 + 8 + 2 + 5 = (15 + 5) + (8 + 2) = 20 + 10 = 30;
з) 13 + 14+7 +6 = (13+ 7) +(14+ 6) = 20 +20 = 40.
835. а) 34 + 87 + 66 = (34 + 66) + 87 = 100 + 87 = 187;
б) 25 + 97 + 75 = (25 + 75) + 97 = 100 + 97 = 197;
в) 371 +483+ 629 = (371 +629)+ 483= 1000 + 483 = 1483
г) 631 + 783 + 369 = (631 + 369) + 783 = 1000 + 783 = 1783
д) 4344 + 1256 + 744 = 4344 + 2000 = 6344;
е) 1594 + 920 + 3080 = 1594 + 4000 = 5594.
ч 11 13 17 11 + 03 + 17) 11 + 30 41
836. а) — + — + — = – = —;
48 48 48 48 48 48
19 18 12 19 + (18 + 22) 19 + 40 59
б) — + — + — = – = = —;
55 55 55 . 55 55 55
ч 25 17 15 (25+ 15)+ 17 40 + 17 57
в) — +— +— = = = —;
64 64 64 64 64 64
ч 23 38 7 (23+ 7)+38 30 + 38 68
г) — + — +— = – = —;
69 69 69 69 69 69
ч 28 52 19 (28+ 52)+ 19 90 + 19 109
д) — + — + — = 1 ;
43 43 43 43 43 43
ч 17 11 23 (17 + 23) + 11 40 + 11 51
е) — +— +— = – = —.
45 45 45 45 45 45
ч 17 28 15 + 2 + 28 15 + 30 45 3
837. а) — + — = = = — = –;
30 30 30 30 30 2
29 37 26 + 3 + 37 26 + 40 66 33
40 + 40 ~ 40 ~ 40 ~ 40 _ 20 ’
58 45 _ 58 + 2 + 43 _ 60 + 43 103
61 + 61 ~ 61 ~ 61 ~ 61 ’
257 199 256 + 1 + 199 256 + 200 456 38
300 + 300 ~ 300 ~ 300 ~ 300 ~ 25 ’
379 127 379 + 21 + 106 400 + 106 506
401+ 401 401 ” 401 _ 401
0,0 . 1 8 7 1–5 8 7 5 + 8 + 7 20 4
838. а) – + — + — = + — + — = = — = –;
5 25 25 5–5 25 25 25 25 5
1 2_ _3__LA JL 3–3 3 + 2 + 9 14 2
5 + 2l+7_7–3 + 21 + 7–3~ 21 _21~3’
3 5 4 .3 + 35 + 4 42 6
49 + 7 + 49_ 49+Т7 + 49– 49 ~ 49 ~ 7’
1_ 2_ JЪ2_ 11 21 + 4 + 11 _ 36 _ 6
10 + 15 + 30_10–3 + 15–2 + 30~ 30 _ 30 _ 5 •

e,ft ч 31 ( 3 39
839. а) н 1
80 116 80
_3__ 70 _3__ 14 _3__17.
Тб _ 80 16 _ 16 16 ~ 16’

^ 2 Г3 б) b 1
45 1 45 9
1_ 3_] 2_J_ 7_J_ 7 _ 8
45 + 45j+9_ 45 + 9 9 + 9_9

B)l+fl+iLf2+24
15 115 5 J 115 15
l_9_ I 3 J__ 4
5 ~ 15 5 ~ 5 5 ~ 5 ’

_ ± ±] 5 __4_ 5 _ 2 5 _ 7
16 + 1б]+8~16 + 8_8 + 8~8'
олп s \ 5 1 1 5–3 1–9 1 + 15 + 9 25
840. a) h —i— — 1 1 — — — j
27 9 3 27 9–3 3–9 27 27
2 5 J__212 5–3 1 4+15 + 1 20 10
9 + 6 + 18 ~ 9–2 + 6–3 + 18 _ 18 ~ 18 ~ 9 ’
4 2 1 3 2–2 1–6 3–3
в) —i—i— — н 1
15 5 10 15–2 5–6 10–3
3 _5_ 1 3–3 5–2 _1__
6 + 12 + 24~8–3 + 12–2 + 24_
(18+ 4)+ 14 18+ (4+ 14) 18 М ]4Ч
_ 24 + V 24 + 24

Ч 2 4 \
— + — + – = —
7, 1 7 7
ЬЛ с о 'Ь
2 4
– + – 7 7
+ – = — + [ —+ — 5 5 15 5

ч 1 3 1 1 (\ 1W3 П 2 4 2 1 2 5 7
844.а) –+–+–+—= – + – + —+ — =–+–=–+–=–+–=–; 5 4 5 4 15 5J U 4J 5 4 5 1 5 5 5
_ 11 7 3 1 (11 Г
б) —I 1 1— — —I—
12 10 100 12 112 12
12 70 + 3 1 73 100 73 173
~ 12 100 –1 + 100_100 + 100~100!
12 15 3 5 (12 5
в ) 1 1 h — +
17 24 8 17 U7 П;
17 15 + 9 1 24 , , „
= — + = – + — = 1 + 1 = 2;
17 24 1 24
ч 3 5 4 4 (3 4W5 4^1 7 9 , , ^
г) —н —I—I— — I —I— +1 —I— — — н— — 1 + 1 — 2.
7 9 9 7 1,7 7) {9 9) 7 9
845. а) Будем считать, что весь путь равен 1, тогда первый пешеход
. 1 „1 за 1 ч проходит — пути, второй — — пути.
1 1 1–3 14 3 + 4 7 ,
—+ —= + = = — (пути) — на столько они приблизятся
8 6 8–3 6–4 24 24 w к
за 1 ч.
7
Ответ: на — пути.
24
2 1 7 2–5 1–15 7–3 10 + 15 + 21 46 , ^ ч
б) — + — + — = + + = = (работы) —
33 11 55 33–5 11 15 55–3 165 165
выполнили 3 рабочих за день.
Ответ: — всей работы.
165 Р
в) Будем считать, что объем всей работы составляет 1, тогда первый
писарь выполняет — работы в день, второй — работы в день,
24 36
1 „ 1 третии — — часть, четвертый — — часть.
1111 115 110 118 1–20
• + — + —+— = + + + ¦
+ — + ¦
24 8–3
15 10 18 20 63 7 .
1– ь 1 = = — (части) — сочинения перепишут
360 360 360 360 360 40
они за один день, если будут работать вместе.
7
Ответ: — сочинения.
40
846. Изначально была 1 чашка кофе, тогда понятно, что кофе выпили ровно 1 чашку, т.к. содержимое чашки допили до конца. Посчитаем,
сколько выпили молока. Молока доливали сперва чашки, потом 1 . 1
— чашки, потом — чашки, т.к. содержимое чашки выпили до конца,
3 6
то молока выпили ровно столько, сколько доливали:
1111–3 1–2 1 3 + 2 + 1 6 , ,
— + – + — = + + — = – —= 1 (чашка).
2 3 6 2–3 3–2 6 6 6
Следовательно, молока и кофе выпили по одной чашке, т.е. поровну. Ответ: кофе и молока поровну.
4.8. Вычитание дробей
847. Дробь, которая в сумме с вычитаемым дает уменьшаемое.
848. а) Разность двух дробей с общим знаменателем есть дробь с тем же знаменателем, числитель которой равен разности числителей уменьшаемого и вычитаемого.
б) Приводят дроби к одному знаменателю, а затем применяют правило вычитания дробей с общим знаменателем.
849. 0 = –, где <7 — любое натуральное число.
Я
850. 0.
ч 3 1 2 кч 7 3 4 1
851. а) б) = — = –;
5 5 5 20 20 20 5
12_J___9_
16 16 _ 16’ 27 27 ~ 27
Л 1 1 1–2 1 2 1 1
852. а) = = = –;
2 4 2–2 4 4 4 4
5 15 1–3 _ 5–3 _ 2
9 3 ~ 9 3–3_ 9 _ 9’
7 3_ 7 3–2 _ 7–6 _ 1
10 5 ~ 10 5–2 ~ 10 ~ 10’
16 1 16 1–3 _ 16–3 _ 13
5 45 “ 5–9 45 ” 45 ~45’
1 8 1 9 8 9–8 1 ,
1 27“ 3–9 27 ~ 27 ~27’
1 11–3 1–23–21
2 3 ~ 2–3 3–2" 6 ~б’
3 13–3 1–5 9–5 4
5 3 _ 5–3 3–5 ~ 15 _ 15’
7 2 7–3 2–8 21–16 5 .
8 3 _ 8–3 3–8 ~ 24 24’
3 4 3–7 4–4 21–16 5 .
К) 4 7 ~ 4–7 7–4 ~ 28 ~28’
9 11 _ 9–3 112 _ 27–22 _ 5 .
16 24 “ 16 3 24 2 ~ 48 ~48’
11 1111–3 11•2 _ 33 — 22 11
12 18 ~ 12–3 18–2 ~ 36 ~3б'
ОС, Л 5 1 5 14 5~4 1
853. а) = = = —
12 3 12 3–4 12 12
1111–4 1 + 4 5
Проверка: — + —= — + = =—.
12 3 12 3–4 12 12
1 3 14 3 _ 4–3 _ 1
5 20 “ 5–4 20 " 20 ~ 20
3 1 4 1
Проверка: — + — = — = —.
20 20 20 5
7 5 7–3 5–2 21–10 11
8 12 ”8–3 12–2 ~ 24 ” 24
5 11 5–2 11 10 + 11 21
Проверка: — + — = + — = —
12 24 12 • 2 24 24 24
1 9–3 1–5 27–5 22 11
г)
10 6 10–3 6–5 30 30 15
1 11 1–5 11–2 5 + 22 27 9
Проверка: — н 1 – — –—.
6 15 6–5 15–2 30 30 10
м 1 2 1 1 «л , 1 3 1 2
854. а) 1— ; б) 1–– = = —;
222 2 3333
в) !_2^3_2=1– r) I_I=4_I=3
3 3 3 3’ 4 4 4 4‘
км 1 5 1 4
б) 1–– = = –
5 5 5 5

ч 39 19 39–7 19–10 273–190
е) –Т7Г– —=
40 28 40–7 28–10
ого . 25 18 25–5 18–4 125–72
858. а) = = = ;
28 35 28–5 35–4 140 140
40 35 40–8 35–7 320–245 _ 75 _ 25
63 72 ~ 63–8 12–1 ~ 504 ~ 504 _ 168’
21 22 21–22 22–21 462 462
40 41 40–12 41–11 480–451 29
143 156 143–12 156–11 1716 1716
Д) 43 15 41 14 645–574 71
126 135 126 15 135–14 1890 1890
239 229 239–6 229–5 1434–1145 289
е)
240 288 240–6 288–5 1440 1440
огл ч 1 1 1–2 12–11 „ 7 4 3 .
4 8 ~ 4–2 8 ~~ 8 ~ 8’ 10 10 10’
11 2 11 2–3 11–6 5. гИ_2 = 7_2 = 5
9 3 “ 9 3–3" 9 _9’ 1111
2 3 2–4 3 8–3 5 1
860 . = = — = — (поля) — осталось вспахать.
5 20 5–4 20 20• 20 4
Ответ: — поля.
4
1 3 5 3 2 1
861 . = = — = — (пути) — прошел второй турист.
2 10 10 10 10 5
Ответ: — пути.
5 2 3 1
862. – (луга) — скосил второй тракторист.
1
Ответ: — луга.
1 2
863. а) 1–– = — (суток) — взрослый человек бодрствует.
2
Ответ: — суток.
1 3 7–1 3 3
б) 1 ——— = — (маршрута) — осталось пройти туристам.
3
Ответ: — маршрута.
864. а) Будем считать, что изначально воробьев было три третьих частей. Когда третья часть улетела, осталось две третьих частей, что по условию задачи равно 6. Найдем сначала одну треть, а потом и три третьих частей.
1) 6 : 2 = 3 (воробья); 2) 3 • 3 = 9 (воробьев).
Ответ: 9 воробьев.

б) Будем считать, что изначально было четыре четвертых частей. Когда три четвертых израсходовали, осталась одна четвертая часть, что по условию задачи составляет 20 р. Найдем четыре четвертых частей. 20 • 4 = 80 (р.) — было изначально.
Ответ: 80 р.
в) Будем считать, что весь маршрут составляет пять пятых частей.
5 2 3
Тогда во второй день прошли –j–—– — частей, что по условию равно 15. Найдем одну пятую часть, а потом и пять пятых частей.
1) 15:3 = 5 (км); 2)5–5 = 25 (км);
Ответ: 25 км.
г) Будем считать, что у Васи сейчас пять четвертых частей марок, что
по условию равно 200 маркам. Год назад у него было — = — — че–
4 4 4
тыре четвертых частей марок. Найдем сначала одну четвертую, а потом и четыре четвертых:
1) 200 : 5 = 40 (марок); 2) 40 • 4 = 160 (марок).
Ответ: 160 марок.
п ч 1 1 15 14 5 + 4 9 , ч
865. 1) а) — + — = + = = — (ч) — составляет 18 р.;
4 5 4–5 5–4 20 20
2) 18 : 9 • 20 = 40 (р.) — стоит 1 м ленты.
Ответ: 40 р.
1 1 Ь2 1–5 2–1 1
б) 1) = — (ч) — составляет 6 р.;
5 2 5–2 2–5 10 10
2) 6 : 1 • 10 = 60 (р.) — стоит 1 м тесьмы.
Ответ: 60 р.
866. Примем все задание за 1.
238233
1) 1 = = – (ч) — осталось выполнить токарю (состав–
8 8 8 8 8 8
ляет 24 детали);
2) 24 : 3 • 8 = 64 (детали) — должен был обточить токарь.
Ответ: 64 детали.
_, 2 1 2–2 1–3 4–3 1
867. а) = = = — (часть) — вспахал второй трак–
3 2 3–2 2–3 6 6
торист за 1 день.
Ответ: — часть.
6
1 1 1–8 1–3 8 — 3 5
б) = = = — (расстояния) — проехала вторая
3 8 3–8 8–3 24 24
машина за 1 ч Ответ: — расстояния.
л 1 1 110 1–3 10–3 7 „ .
в) = = = — (бассейна) — наполняется через
3 10 3 10 10–3 30 30
вторую трубу за 1 ч 7
Ответ: —бассейна.
30
1Ч 1 1 1–3 1–2 3–2 1
868. 1) = = = — (ч.) — составляет 10 страниц;
2 3 2–3 3–2 3–2 6
2) 10 : 1 • 6 = 60 (стр.) — столько страниц в рукописи.
Ответ: 60 страниц.
1 1 1–3 1–2 1 , ч
869. 1) = = — (ч.) — составляет 2 версты;
2 3 2–3 3–2 6
2) 2 : 1 –6=12 (верст) — расстояние между деревьями;
3) 12:3=4 (версты) — прошел прохожий;
4) 12–4 = 8 (верст) — осталось пройти.
Ответ: 8 верст.
870. Будем считать, что выигранная сумма равна 1.
141 1 1 28 4 7 17 / ~ч п•
1) 1 = = — (частей) — составляет 17 флоринов.
7 4 28 28 28 28
2) 17 : 17 • 28 = 28 (флоринов) — составляет весь выигрыш.
4.8. Умножение дробей
871. а) Произведение двух дробей есть дробь, числитель которой равен произведению числителей, а знаменатель — произведению знаменателей этих дробей.
3 5 3–5 15 5
Пример: = = — = —.
4 6 4–6 24 8
б) Нужно числитель дроби умножить на это натуральное число, а знаменатель оставить тот же.
гт т. 4 3 4 12
Пример: 3 — — = —.
7 7 7
7
872. –.
3
873. Дроби вида — и —, где р и q – — натуральные числа.
Я Р
Пример: | и | — взаимообратные.

7 9 7–9
В 8 5 ~ 8 • 5
ч 6_3>2_3.
876. а) — — — —,
8 4–2 4
5 9 5 9 45
8 7 _ 8–7 ~ 56
6) – = — = –;
24 8–3 8

 

_on т 2 63 2–9–7 , 2 63
890. Так как = 1, то числа — и взаимообратные.
7 18 7–9–2 7 18
892. а) нет; б) да; в) да.
893. а) нет; б) нет; в) да.
894.1.
895. а) меньше 2;
б) Да. Примеры: 3 • — = — < 1, 3 • — – — < 1.
^ 9 3 10 10
1 1 4
в) Да. Примеры: 4• — = 2> 1, 4 "J = J •
г)Верно. 2–—–i<2 7––!–= — <7.
2 3 3
«ос О 5 5 5 О 5 3 5 3–5 5 . .
896. Р– — + — + — = 3 — = = — (м) — периметр треуголь–
999 919 3–3 3
ника.
Ответ: — м.
3
ОП<7 ч D 1 1 1 1 и 1 4 1 , . .
897. а) Р = — +—+—+— = 4– — = = 1 (м) — периметр квадрата.
3 4 4 4 4 1 4
Ответ: 1 м.
D 1 1 1 1 и 1 4 1 W Ч
б) Р = — + — + — + — = 4 — = = 1 (дм) — периметр квадрата.
4 4 4 4 4 1 4
Ответ: 1 дм.
. _ 7 7 7 7 7 4 7 4–7 7
в) Р– — + ь ь — = 4 — = — (м) — периметр
32 32 32 32 32 1 32 4–8 8
квадрата.
7
Ответ: — м.
8
ч п 15 15 15 15 15 4 15 415 15 , ч
г) Р – — + — + — + — = 4 — = = = — (дм) — периметр
64 64 64 64 64 1 64 4 16 16
квадрата.
Ответ: — дм
16
898. a) W =I.i = –J– = l;
\2) 2 2 2–2 4
6)fiY=i.I = _L = l;
43J 3 3 3–3 9
b) OV JLJ_ J_= 1 1
899. За 2 мин — 2 • — = — — бассейна.
20 1 20 10
За 4 мин — 4– —= — • — = — бассейна.
20 1 20 5
За 10 мин— 10 —= — • — = — бассейна.
20 1 20 2
За20мин—20—= —— = – = 1 бассейн.
20 1 20 1
ОПА МЛ 1 1 1 21 1 + 2 3 Ч
900. а) 1) — + — = — + = = — (бассейна) — заполняются
20 10 20 2 10 20 20
за 1 мин двумя трубами;
^ t 3 6 3 2–3–3 9
2) 6 = = — (бассейна) — заполняются двумя тру–
20 1 20 2 10 10
бами за 6 мин
9
Ответ: — бассейна.
10
^ 14 1 1 1 2Л 1 + 2 3
б) 1) — +— = — н = = — (бассейна) — заполняются за
20 10 20 2 10 20 20
1 мин двумя трубами;
0 3 8 3 4–2–3 6
2) 8 — = = = — (бассейна) — заполняются двумя тру–
20 1 20 4–5 5
бами за 8 мин
Так как j > 1, то бассейн наполняется через 8 мин.
Ответ: наполнится.

4.9. Законы умножения. Распределительный закон

R.L–L.R–
q s s q’

902. а) От перестановки множителей произведение не меняется.
б) Чтобы произведение двух чисел умножить на третье число, можно первое число умножить на произведение второго и третьего чисел.
в) Чтобы число умножить на сумму двух чисел, можно это число умножить на каждое слагаемое и полученные произведения сложить.
р г г р
q s s q
q \s п) q s q п
Р + r т _т Р + г
q s) п п \q s)
4.10. Деление дробей
907. а) Чтобы разделить дробь на дробь, можно делимое умножить на дробь, обратную делителю.
б) Чтобы разделить дробь на натуральное число, можно ее знаменатель умножить на э го число.
908. а) можно; б) нельзя; в) можно; г) нельзя.
909. а) 80 : 2 – 40 Проверка: 40 • 2 = 80.
б) 100 : 25 – 4 Проверка: 25 • 4 = 100.
в) 1000 : 8 — 125 Проверка: 125 • 8 = 1000.
г) 121 : 11 ;= 11 Проверка: 11 • 11 – 121.
д) 625 : 25 = 25 Проверка: 25 • 25 = 625.
от ч 1 1 1 3 3– п 31 31 1
910. а) —. — – =— Проверка: – —
^ 1 1 1 4 4 „ „ ^ 1 2 1 2–1 1
б) —: — = — = 2 Проверка: 2— = = = —
24212 4 14 1–4 2
.11 14 4 1 11 1 1
в) —: — = = — = — Проверка: = = —
8481 82 24 2–4 8
1– 1–1 ?–_L–_L п ,5 4 5–4 1
45 _ 4 4 _ 4–4 ~Тб роверка> 16 5 ~ 4–4–5 ~ 4
8 _4__ 8 21 8 21 2–7 14
9 ‘ 21 ~ 9 4 “ 9–4 ~ТТ_ 3
14 4 14–4 2–4 8
Проверка: = = —
3 21 3–21 3–3 9
Ji6 24 __16 35 _ 16–35 2–7 _ 14
25 35 ~ 25 24 ~ 25 • 24 ~ 5 • 3 ~ 15
24 14 24–14 8–2 16
Проверка: = = = —
35 15 35–15 5–5 25
52 26 52 27 52–27 2–1 2
81 27 ~ 81 26 _ 81 • 26 _ 3 • 1 ~ 3
2 26 2–26 52
Проверка: =
3 27 3–27 81
100 75 _Ш0 82 100–82 4–2 _8
123 82 ~ 123 75 ~~ 123–75 ~ 3–3 ~ 9
8 75 8–75 4–25 100
Проверка: = = =
9 82 9–82 3–41 123
= = 6)1:1Л.«Л = 2;
6 2 6 1 6–1 3 3 6 3 1 3
11– 1 1–11–L 8 4 8 3 8–3 2
7 7~7 б"7’б'2’ 93 94 9–4 ~3’
15 10 15 24 15–24 9 15 25 15 34 15–34 6
16 ' 24 ” 16 10 ~ 16–Ю” 4• 17 ‘ 34 “ 17 25 ~17–25 ~~ 5’
32 48 32 25 ^ 32 • 25 2 38 19 38 100 38 –100
75 ' 25 ~ 75 48 ~ 75–48 _ 9’ 75 ' 100 “ 75 19 ~ 75–19 "
1.2_1.2__1_ 1__L_1. 2 12–12,
2 ~2 1 ~ 25 2_2–2~4’ 5‘ _5 3~5–3–15’
Л 7 1 3 2 1 О • Л С 4 8 5 8 5 1Л
л) 3: — — = 3–2 = 6; м) 8: — = 10.
2 11 5 14 1–4
Л1, чт 3 4 4 3 4 5 4–5 4
912. а) Г.к х • — = —, то х = —: —= = ¦

25 5' 25 5 25 3 25–3 5
913. а) 10 частей; б) 4 пакета; в) 5 пакетов; г) за 3 часа; д) через 4 час;
20
914. а) 20:3 = — (м) — длина каждой части
п. 20 Ответ: — м.
3
б) 11:4 = — (м) — длина каждой части
4
Ответ: — м.
4
1 4 5 4–5
915. а) 4: —= уу = –у— = 20 (пачек) — получится из 4 кг масла.
Ответ: 20 пачек.
^ \ 5 5 5'5 ,
б) 5 : — = у • у = —— = 25 (пачек) — получили из 5 кг масла.
Ответ: 25 пачек.
ч , 1 6 5 6–5 .
в) 6: — = — • у = —у– = 30 (пачек) — получили из 6 кг масла.
Ответ: 30 пачек.
ч ,, 1 115 115 « / ч «
г) 11: — = — • у = —у— – 55 (пачек) — получили из 55 кг масла.
Ответ: 55 пачек.
916. а) Т.к. Р = 4 – а, то а = — = — = 4 (см) — длина стороны.
4 4
Ответ: 4 см.
б) Т.к. Р = 4 • а, то а = — = — = — (см) — длина стороны.
4 4 2
7
Ответ: — см.
2
Р 13
в) Т.к. Р = 4 • а, то а = — = — (см) — длина стороны.
‘
4
Р 17
г) Т.к. Р = 4 • а, то а = — = — (см) — длина стороны.
4 4
Ответ: — см.
4
917. а) 1: 1 = j– • у = 12 = 5 (кусков) — получится из 1 м ленты. Ответ: 5 кусков.
б) 3: 1 = у • у = 2–2 = 15 (кусков) — получится из 3 м ленты. Ответ: 15 кусков.
в) 11:1 = 112 = –у— = 55 (кусков) — получится из 11 м ленты.
Ответ: 55 кусков.
ч 1 17 5 17–5
г) •7: у = — • у = —j— = 85 (кусков) — получится из 17 м ленты. Ответ: 85 кусков.
918. а) 20 : 4 = 5; 30:4=~ = у; 40:4= 10; 50:4 = –^ = у;
б) 20:1=20.1 = ^ = 80; 30:! = H.! = Hd = i20;
3 111 4 111
40:l = ^.l = i^ = 160; 50:1^–1 = ^1 = 200.
4 111 4 111
1 1311 1 1 3 3331311
919. а) –,3––.y–– y_ —, –.3––.у––.
1–3л.2Л 1=11–1. 5–з–5–3–5 1 –51 – 5
2' ~2’l ~2 3_2–3~2’ 7' “ 7 ' 1 “ 7 3 ” 7–3 ” 21'
б) 11 = 1.1 = 11 = 1– 3 1 3 3 3–3 9
9 3_9 Г9'Гз’ 5 3~51_5–1~5•
3 1 3 3 3–3 9 5 1_ 5 3 5–3 15
2 3 2 1 “ 2–1 ~ 2' 1 Ъ~ 1 \ ~ 1 Л~ 1
920. а)1:2 = 1 в) 7:10 = —
2 10
б) 2:5=1 г) 8:5=1
5 5

о –>1 ч и 1 „ 3 „ 1 „ Г 1 3 1
923. а) 4 • — + 4 4 — = 4 • — +
4 7 35 1 5 7 35
3 С 5 11 3 «с 1
б) – –5+ :– = ––5 + 5 —
8 56 7 5 8 56
56 ) 56
2 11– 3 2 18 ~ 2
3 15 + 20–13 3–22 11
2 18 ~ 2–18 ~ 6
__4 8 4 24 _1_ 4 4
5 8 5 25 25'4_;5’5~ 5 25 + 25 5 ~ 5
4 f 8 • 5–24 + П 4 40–24 + 1 4–17 68

 

4.11. Нахождение части целого и целого по его части

926. а) – от 11 есть —
3 3
ч 3 ^ 3 _ 21
в) — от 7 есть — • 7 = —
2 5 5
1 20
б) — от 20 есть — = 4
5 5
4 4 4 28
г) — от 28 есть — • 28 = 16
7 7 7 1

1 15 3
927. а) Число, — которого равна 5, есть число 5: — = — ¦ — = 15.
3 3 21 7
б) Число, — которого равны 21, есть число 21: — = — • — = 49.
3 3 3 45 4
928. а) Т.к. – от 45 м есть —–45 = = 27 м, а — от 30 м есть
5 5 5 1 5
4 4 30 3 4
— • 30 = = 24 м и 27 м > 24 м, то — от 45 м больше — от 30 м.
5 5 1 5 5
^^2 3 232 3 2 322
б) Т.к. — от – м есть = — м, а — от —м есть = — ми
3 5 355 5 3 535
2 2 2 3 3 2
— м = — м, то — от — м равны — от — м.
5 5 3 5 Р 5 3
1 900 1 1
929. а) 1) 900 • – = —• — = 300 (р.) — составляет — суммы.
2) 900 – 300 = 600 (р.) — искомая сумма.
Ответ: 600 р.
2 150 2 2
б) 1) 150– —= —j—• —= 60 (р.) — составляют — суммы.
2) 150 + 60 = 210 (р.) — искомая сумма.
Ответ: 210 р.
930. 1) 200 — = = 20 —есть — от числа 200.
10 1 10 10
2) 200 + 20 = 220 — число после увеличения.
1 220 1 1
3) 220 — = = 22 —есть — от числа 220.
10 1 10 10
4) 220 – 22 = 198 — число после уменьшения.
Ответ: не получилось.
2 2 60 5
931. а) Число, — которого равны 60, есть число 60:— = = 150.
3 3 99 11
б) Число, — которого равны 99, есть число 99= ——— = 363.
932. а) По условию задачи количество дней, на которое были запасе–
2 2 ны продукты, есть число, — которого равны 4, т.е. число 4: — = 4 5 –
= = 10 дней.
1 2
Ответ: на 10 дней.
б) По условию задачи количество всех машин на стоянке есть число,
3 1С3 15 5
— которого равны 15, т.е. число 15 : — = 25 автомашин.
Ответ: 25 автомашин.
933. а) Будем считать, что первоначально число составляло десять
10 3 7 7
десятых долей, тогда = — числа составляют 210. Число, —
10 10 10 10
7 210 10
которого составляют 210, есть число 210: — 300.
10 1 7
б) Будем считать, что первоначально число составляло семь седьмых
7 18 8
долей, тогда — + — = — числа составляют 56. Число, — которого со– 7 7 7 7
« ^ 8 56 7 ло
ставляют 56, есть число 56: — = = 49.
7 1 8
Ответ: 49.
934. Примем длину всего столба за единицу, тогда 1–2 = 2.• =~j
его длины возвышаются над землей.
2 2 Число, — которого составляют 230, есть число 230: — =
230 3
= ——•— = 345. Таким образом, длина столба есть 345 см, т.е. 3 м 45 см.
Ответ: 3 м 45 см.
мм 2 1 15–2–3–1–5 4
935. а) 1) 1 = = — (ч.) — арбузов осталось;
5 3 15 15
2) 80: А = ^.А = зоо (арбузов) — привезли в магазин.
Ответ: 300 арбузов.
» , 1 1 6–13–1–2 1 . .
0) 1) 1 = = — (ч.) — денег осталось;
2 3 6 6
2) 6;2 = у –у = 36 (р.) — было первоначально.
Ответ: 36 р.
936. Примем содержимое всей бочки за единицу.
1) 1:2 = 2 (часть) — отлили в первый раз;
2) 1 –2 = 2 (часть) — осталась после первого отливания;
^ 1 о 1 1 1 г л
3) —;2 = —• —= — (часть) — ОТЛИЛИ во второй раз;
лл 1 1 21–] 1 ,
4 ) = = — (часть) — осталась после второго отливания;
2 4 4 4
^ 1 о 1 1 1 /
5) —: 2 = —•— = — (часть) — отлили в третии раз;
6) — –— = Zllzl = 1 (часть) — осталась в бочке;
4 8 8 8
, 1 1–8–1 7 ,
7) 1 — = = — (частей) — отлили.
8 8 8
7
Ответ: — частей.
8
937. Примем множество чистых цветков лотоса за единицу.
14J 1 1 1 1 1–60–1–20–1–12–1–10–115 3 1 ,
1) 1 — = — (долю) —
' 3 5 6 4 60 60 20
цветков получил уважаемый учитель (составляет 6);
. 1 6 20 ... , –
2) 6: — = = 120 (цветков) — было всего.
20 1 1
Ответ: 120 цветков.
938. Примем число всех людей команды за единицу
{ 2 2 1 1 140–2 28–2–20–1 35 140–56–40–35 _ 9
' 5 7 4_ 140 140 140
(долей) — всей команды составляют 27 человек;
7 27 140
2) 27: = = 420 (человек) — всего в команде.
140 1 9
Ответ: 420 человек.
939. 1) 1 + 4 = 5 (куб. ед.) — дают две трубы вместе за 1 ч;
12
2) 12:5 = — (ч) — через столько наполнится бассейн;
12 12 12 60
3) — ч= —60 мин– мин =
5 5 5 1
= 144 мин = 2 ч 24 мин.
Ответ: через 2 ч 24 мин.
4.12. Задачи на совместную работу
940. а) Примем объем бассейна за единицу.
1) 1:3 = 1 (часть) — бассейна наполняет первая труба за 1 час;
2) 1:6 = 1 (часть) — бассейна наполняет вторая труба за 1 час.
6
Ответ: 1 и 1 бассейна.
3 6
б) Примем объем бассейна за единицу.
1 1 12 + 1 3 1 , ч « – •
1) — + — = = — = — (часть) — бассейна наполняют две трубы за
3 6 6 6 2
1 час;
2) 1:2=2 (ч) — за столько времени наполнится весь бассейн, если
открыть обе трубы.
Ответ: — бассейна, за 2 ч.
2
в) Примем объем бака за единицу.
1) 1:10 = А (бака) — наполняется первой трубой за 1 мин.;
2) 1:15 = А (бака) — наполняется второй трубой за 1 мин.;
1 1 1–3 + 1 –2 5 1 .
3) — + — = — – — (бака) — наполняется двумя трубами
8 15 30 30 6
за 1 мин.;
4) 1: — – 6 (мин) — за сколько наполнится бак двумя трубами.
6
Ответ: за 6 мин.
941. Примем расстояние между городами за единицу.
1) 1:10 = ^ расстояния проходит первый путешественник за 1 день;
2) 1:15 = –j2– расстояния проходит второй путешественник за 1 день;
.. 1 1 1–3 + 1 –2 5 1
3) — + — = — – — (расстояния) — такую часть расстоя–
10 15 30 30 6
ния проходят путешественники за 1 день при движении навстречу
друг другу;
4) 1:2 = 6 (дней) — через столько встретятся путешественники.
6
Ответ: через 6 дней.
942. а) Примем объем бассейна за единицу.
1) 1:20 = А. (бассейна) — наполняется первой трубой за 1 ч;
2) 1:30 = А. (бассейна) — наполняется второй трубой за 1 ч;
„1,1 1–3 + 1–2 5 1 – ч
3 ) 1 = = — — — (бассейна) — наполняется двумя
20 30 60 60 12
трубами при их совместной работе за 1 ч;
4) 1: ^2. = 12 (ч) — через столько наполнится бассейн.
Ответ: через 12 ч.
б) Примем «всю работу» за единицу.
1) 1:20 = (класса) — убирает первый ученик за 1 мин;
2) 1:30 = (класса) — убирает второй ученик за 1 мин;
1 1 1 –3 + 1•2 5 1 . ч
3) — + — = = — = — (класса) — убирают два ученика при
20 30 60 60 12
совместной работе за 1 мин;
4) \:~ = \2 (мин) — за столько они могут убрать класс.
Ответ: за 12 мин.
в) Примем расстояние между городами за единицу.
1) 1:30 = ^ (расстояния) — проезжает грузовая машина за 1 ч;
2) 1:20 = — (расстояния) — проезжает легковая машина за 1 ч;
1 1 1–2 + 1–3 5 1. Л
3) — + — = = — – — (расстояния) — такую часть расстоя–
30 20 60 60 12
ния проезжают они за 1 ч при движении навстречу друг другу;
4) 1 :–1 = 12 (ч) через столько часов они встретятся.
Ответ: через 12 ч.
943. Примем весь корм за единицу.
1) 1:30 = — (корма) — съедают утки за 1 день;
2) 1:45 = — (корма) — съедают гуси за 1 день;
45
„1,1 13 + 1–2 5 1
3) — + — = = — = — (корма) — съедают утки и гуси вме–
30 45 90 90 18
сте за 1 день;
4) 1: — = 18 (дней) — на столько хватит этого корма уткам и гусям
18
вместе.
Ответ: на 18 дней.
944. Примем объем заготовленных материалов за единицу.
1) 1:10 = –1 (материалов) — расходуют два цеха за 1 день, работая вместе;
2) 1:15 = А (материалов) — расходует первый цех за 1 день;
„ 1 1 1 • 3 — 1 – 2 1 .
3) — – — = ——— – — (материалов) — расходует второй цех за
1 день;
4) 1: А = зо (дней) — на столько хватило бы материалов для работы
только второго цеха.
Ответ: на 30 дней.
945. Примем объем всей работы за единицу.
1) 1:6 = 2 (работы) – – выполняют два тракториста за 1 ч, работая
6
вместе;
2) 1:10 = А (работы) — выполняет первый тракторист за 1 ч, работая один;
оч 1 1 15–1–3 2 \ , с ч
3 ) = = — = — (работы) – выполняет второй тракто–
610 30 30 15
рист за 1 ч, работая один;
4) 1: А = 15 (ч) — за столько часов второй тракторист может вспахать поле.
Ответ: за 15 ч.
946. Примем объем всей работы за единицу.
1) 1:16 = — (работы) – выполняют два печника за 1 ч, работая вместе;
16
2) 1:24 = А (работы) –– выполняет первый печник за 1 ч, работая один;
1 1 1 •3 — 1 – 2 I , • ч
3 ) = = — (работы) — выполняет второй печник за
15 24 48 48
1 ч, работая один;
4) 1: А = 48 (ч) – за столько времени сложил бы печь второй печник.
Ответ: за 48 ч.
947. Примем расстояние между пунктами А и В за единицу.
1) 1:40 = — (расстояния) — такую часть расстояния проходят два 40
пешехода за 1 мин при движении навстречу друг другу;
2) 40 + 32 = 72 (мин) — время первого на весь путь;
3) 1:72 = (расстояния) — проходит первый пешеход за 1 мин.;
1 1 1–9–15 4 1,
4 ) = = =— (расстояния) — проходит второй
40 72 360 360 90 / н
пешеход за 1 мин;
5) 1 ~ = 90 (мин) — через столько времени после своего выхода из
В второй пешеход прошел в пункт А.
Ответ: через 90 мин.
948. Примем расстояние между пунктами А и В за единицу.
1) 1:2 = 2 (расстояния) —– такую часть расстояния проезжают машины за 1 ч при движении навстречу друг другу;
2) 2 + 3 = 5 (ч) — время грузовой машины на весь путь;
3) 1:5 = 2 (расстояния) — проезжает грузовая машина за 1 ч;
.. 1 1 5–1–2 1 3 .
4) — –— = ——— = — (расстояния) — проезжает легковая машина за 1 ч;
5) 1:10 = –^ (ч) — столько времени потратила легковая машина на
путь из В в А;
^ 10 10 10 60 „ЛЛ „
6) — ч = — 60 мин = 200 мин – 3 ч 20 мин.
3 3 3 1
Ответ: 3 ч 20 мин.
949. а) Примем воз сена за единицу.
1) 1 : 1 = 1 (воз) — съедает лошадь за месяц;
2) 1:2 = 2 (воза) — съедает коза за месяц;
3) 1:3=2 (воза) — съедает овца за месяц;
^.,11 6–1 + 3–1 + 2–1 11 ,
4) 1+—+— — (воза) — съедают лошадь, коза и
2 3 6 6
овца за месяц вместе;
5) 1:“2L (мес.) — за такое время лошадь, коза и овца вместе съе–
6 11
дят воз сена.
Ответ: — мес.
11
б) Примем всю работу за единицу.
1) 1 : 1 = 1 (работы) — выполняет первый плотник за год;
2) 1:2 = 1 (работы) — выполняет второй плотник за год;
3) 1; 3 = у (работы) — выполняет третий плотник за год;
4) 1:4 = — (работы) — выполняет четвертый плотник за год;
4
, 1 1 1 Ы2 + 1–6 + 1–4 + 1–3 25 . ч
5) 1+—+—+—= = — (работы) — выполняют
2 3 4 12 12
четыре плотника за год;
25 12 , ч
6) 1: — = — (года) — за столько времени они построят дом при совместной работе.
Ответ: за — года.
25
4.13. Понятие смешанной дроби
950. Сумму натурального числа и правильной дроби, записанную сокращенно, без знака «+».
Пример: 3~.
951. а) Натуральное число в записи смешанной дроби,
б) Правильную дробь в записи смешанной дроби.
2 2 Пример: 2— — смешанная дробь, 2 — целая часть, — — дробная
часть.
952. а) Чтобы записать неправильную дробь (числитель которой не делится нацело на знаменатель) в виде смешанной дроби, надо ее числитель разделить на знаменатель с остатком. При этом целая часть смешанной дроби будет равна неполному частному, а дробная часть — остатку, деленному на знаменатель.
б) Чтобы записать смешанную дробь в виде неправильной дроби, знаменатель дробной части умножают на целую часть, прибавляют числитель дробной части и полученное число записывают в числитель, а знаменатель оставляют тот же.
в) Если целые части смешанных дробей равны, то больше та дробь, у которой дробная часть больше.
Если целые части смешанных дробей не равны, то больше та дробь, у которой целая часть больше.
953. а) — = 12:4 = 3
4
48
г) — = 48:6 = 8
6 32
б) — = 32:4 = 8
4
72
д) — = 72:6 = 12
6
в) — = 56:7 = 8 7

3 1
954. а) — = 1 не является;
2 2
ч 4 i
в) — = 1 не является;
3 3
«ч 5 о1
б) — = 2 не является;
2 2
20
г) — = 20:5 = 4 — является.
5

955. а) — = 12:3 = 4
3
75
г) — = 75:3 = 25
3 40
б) — = 40:20 = 2 20
Д) 1^5 = 1000:8 = 125
в) — = 100:25 = 4
25

 

960. а) _3
В)–4
1
(у—»т е– – = 1–5–;
Ч 2 2
3 т.е. — = 1—;
1 3 3
2 9 1
т.е. — = 4—;
4 2 2

lL,r.e. 28_91. ЧГ з 3•
|_L_, т.е. 11 = з .– ТГ 5 3’
6 19 о1
L^–»T–e– — = 3—;
IL_ , т.е. 38 = 2—
2 13 13'

^¦T.e.5Z = 7I.
7 8 8
fl,t J J 7 1 11 3
961. a)—=2— o) — = 2— в)— = 2—
2 2 3 3 4 4
.61 5 ,2 7 3
r) — = 1— д)– = 1— e)—= 1—
5 5 3 3 4 4
,9 ,4 ,7 J .72 _ 2 1
ж) – = 1– з) — = 2— и)— = 7—= 7–
5 5 3 3 10 10 5
. 38 3 . 25 1 54 2
к) — = 5— л) — = 4— м) — = 4—
7 7 6 6 13 13
ч 26 ,8 ч 49 ,1 ч 90 0 2
н) — = 2– о)— = 6– п)— = 8—
9 9 8 8 11 11
, .2 1 ,15 ,5 ч , . 25 1 ч ^26 .2
962. а) 3 — – 3— 6)6— = 6— в) 14— = 14— г) 5— = 5—
8 4 18 6 75 3 39 3
4 1 1 ^ 2 1 4 2 3 ч,1,1
963. а) —>— б) — <— в) — <— г) 1 — >1 —
2 3 52 34 23
. – 2 1 ч 2 3 ч.1,1 . _2 . 1
д) 3—<3— е) 2—<2— ж) 2—>1– з) 3—<4—
52 34 23 52
2 3 11 2 1 2 3
и) 3—<5— к) 1—<2— л) 4—>3— м) 5—>3—
34 23 52 34
0,( ч Л , 1 21 + 1 3 1 , ! 1–3 + 1 4
964. а) 1 — = 1 + — = = – б) I – = 1 + – = = –
2 2 2 2 '3 3 3 3
ч , 1 , 1 1–4 + 1 5 2,2 1–3 + 2 5
в) 1—–1+ —= = – г) 1 — = 1 ч— — ––
4 4 4 4 3 3 3 3
ч ,3 ,3 1–4 + 3 7 4 .1.1 2–4 + 1 9
Д) 1_ = 1 + _ = = _ е) 2– = 2 + – = = –
4444 4 444
4,1,1 3–5 + 1 16 1 1 8–3 + 1 25
ж) 3– = 3 + – = =— з) 8– = 8 + – = = —
5 5 5 5 3 3 3 3
.22 2–5 + 2 12 ч п п 5 9 7 + 5 68
и) 2— = 2 + — = = — к) 9–= 9 + — = = —
5 5 5 5 7 7 7 7
. . 5 5 1•11 + 5 16 4 4 1–13 + 4 17
л) 1— = 1+ — = — м) 1— = 1 + — = = —
11 11 11 11 13 13 13 13
ч , 1 , 1 6–12 + 1 73 чИ,4 4–15 + 4 64
н) 6— = 6 + — = — о) 4—= 4 +— = —
12 12 12 12 15 15 15 15
. 2 2 12–3 + 2 38
п) 12—= 12 + —= = —
3 3 3 3
ОАС Ч 9 ,4 «Ч 14 л2 ч 15 ,3
965. а)—=1— б)— = 4— в) — = 3—
4.14. Сложение смешанных дробей
966. Чтобы сложить смешанные дроби, надо сложить отдельно их целые и их дробные части и полученные результаты сложить.

967. а) 5+—=5—
4 4
3 3
в) 3+–=3–
5 5
968. а) 6–=6+–
3 3
..16 _ 16
в) 5— = 5 + —
25 25
969. а) 9 + 5—= 14—
2 2
7 7
г) 13 + 2—= 15—
9 9
ж) 12+ 23–= 35–
9 9
3 3
б) 4 + —= 4—
7 7
15 ,. 15
г) 12+— = 12—
16 17
б) 7— = 7 + —
8 8
.,19 , 19
г) 1— = 1 + —
20 20
3 3
б) 3—+5=8–
8 8
д) 3 + 28—= 31—
7 7
з) 39 + 42—= 81— 20 20
9 9
в) 8—+ 7 = 15—
13 13
е) 48—+ 13 = 61
6
Ч Т 2 3 О 5 т1
в) 3 ь — = 3— = 3—
25 25 25 5
. 9 3 ,_ 12 ,„3
д) 17 1 = 17— = 17—
16 16 16 4
ЧЛЗ 4 .17
ж) 4— + — = 4—
45 45 45
Ч 5 71 I6 т3
г) —I– 3— = 3— = 3—
8 8 8 4
ч 7 5 „12
с) —t– 2— — 2—
19 19 19
з) 3 + — = 3 + 1 = 4
7

и) 4 + — = 4 +1 = 5
3
973. а) 1—+5—=6—
7 7 7
1 2 3
в) 7—+ 3—= 10—
7 7 7
ч < , 1 А14
д) 5— + 1 — = 6—
15 15 15
974. а) 3—+ 1—= 4 + —= 4 + 1 = 5
2 2 2
3 4 7
в) 3—+ 5—= 8 + —= 8 + 1 = 9
7 7 7
ч „ 4 „11 , 15 , , „
д) 4—+2— = 6 + — = 6 + 1 = 7
15 15 15
б) 3—+ 5— = 8–
3 5 5
3 14 1
г) 9— + 7— = 16— = 16—
8 8 8 2
е) 3—+ 7—= 10—
19 19 19
3 2 5
б) 4—+ 1—= 5 + —= 5 + 1 = 6
5 5 5
2 7 9
г) 8—+ 4—= 12 + —= 12 + 1 = 13
9 9 9
11 17 90
е) 6—+ 4—= 10 + —= 10+1 = 11
28 28 28

975. а) 5—+ 1—= 6 + —= 6 + 1—= 7—
4 5 5 5 5
Л „6 с 8 г ,1 Л
б) 3—h 2— — 5 н 5 + 1— — 6—
7 7 7 7 7
ч х3 п1 ,1 10 1( ,2 ,„1
в) 4—+ 7—= 11 + — = 11 + 1—= 12—
8 8 8 8 4
5 7 12 3 1
г) 9—+ 11—= 20 + —= 20 + 1—= 21—
9 9 9 9 3
Ч111 „15 „ 26 , ,9 . 9
д) 1—+ 2—= 3 + — = 3 + 1— = 4—
17 17 17 17 17

3 14 1
976. а) 16—+7—= 23—= 23—
8 8 8 2
б) 17—+ 9—= 26—= 26—
9 9 9 3
г) 14—+ 28—= 42—= 42–
16 16 16 8
115 4 9
982. 1) —+ 1—= — + 1— = 1— (м) — длина отрезка Л С;
4 5 20 20 20 F
9 1 9 5 14 7
2) 1— + — = 1— + — = 1— = 1— (м)—длина отрезка АВ.
20 4 20 20 20 10
Ответ: 1— м.
10
983. 1) 1—+2— = 7— + 2— = 9— (м)— длина отрезка А С;
10 4 20 20 20
2) 9— + 1— = 9— + 1— = \6— (м) — длина отрезка АВ.
20 10 20 20 20
Ответ: 16— м.
20
984. 1) 4j + 5 = 9–1 — составляет второе число;
1 1 2
2) 9— –+– 3 — — 12— —составляет третье число;
112 4
3) 4— + 9— +12— = 25— —сумма трех чисел.
4
Ответ: 25—.
5
4.15. Вычитание смешанных дробей
985. Устный.
ч 7 5 2 1 8 4 4

990. а) 8—–4=4—
4 4
3 2 1
г) 9– — = 9–
7 7 7
4 1 4 3 1
991. а) 9 = 9—— = 9—
9 3 9 9 9
в) Ю—–j– = 10––— = 10–
8 4 8 8 8
д, ¦ _13И
36 9 36 36 36
Q 1 7
992. а) 5—–2—= 3—
15 15 15
ч о 9 л 5 с4 1
в) 8 3—= 5—= 5–
16 16 16 4
. 7 – 3 , . 4 , А
д) 17 3—= 14—= 14–
16 16 16 4
993. а) \––– = \
2 2
В) 4 4 4 4~4~2
1^_2_Ш_2_8 Д 9 9 9 9 ~ 9
994. а) 1—– —= 1—– —= 1—–1—
2 6 6 6 6 3
11_J_=1_4___5_= 24_ J__19
5 4 20 20 “20 20 ~ 20
Ч И 7 I11
в) 4 3 = 1—
13 13
с) 8—–— = 8—
5 5 5
3_A=8J
б) 81–1 =
16 8 16 16 16 r)1^–i=11^–A=ul=11i
12 4 12 12
е) 7—–––7—– — =7— 48 6~ 48 48" 48
3 3
б) 12—–7—= 5
7 7
ч л11 л6 11
г) 4 4— = —
19 19 19
. _ 18 _8 10 2
е) 7 7— = — = —
25 25 25 5
6)11ЛЛЛЛ
5 5 5 5 5
jl_5_7_5_2_1
6 6_6 6”6“3
J__5 _9_5 4 _\_
8 8 8 8 ~ 8 ~ 2
6) ,1_1 = 1–2Л
4 2 4 4 4

Г) i_L_l = jJ
6 5 30 30 30 30 30

 

1 1 2 3 ( 2 ^
997. а) 4— –3— = 4— –3— = 3 + 1— 30 20 60 60 ^ 60)
= 3 +
11 3 2 1
б) 14—–1—= 14—–1—= 13—
12 18 36 36 36
в) 3—= 3—–1—= (•2 + 1—
25 10 50 50 I 50) I 50

г) 13— –1— = 13— –1— = 24 18 72 72
12 + 1— 1–1 1 + 44
V 72 J I 72

д) 13—–10—= 13—–10—= f 12+ 1—1–f Ю + –11 =
18 12 36 36 t 36j V 36.
3
–I 10 + — 1 = 2—
36 J 36
10 r 6 ^ { „ un
12— = 15 + 1— — 12 + —
75 , 75j I 75j
75

–I 12 + —1 = 3—
75j V 75 J 75
998. a) 3i––2—+ —= 3—–2—+ —= 3—–2—=
8 3 6 24 24 24 24 24

б) 2 1— + –
15 I 10 5
16
= 2–– 1—+ — 30 I 30 30
= 2I6_,2i =
30 30

=ll+,^.H1+2il=r1+^_ri+^
30 J I 30 J I 30 J I 30

N Л4 ,7 3 14 ,21 27 ,14 (,21 27
в) 4 1 = 4 1 = 4 1 — + —
45 15 5 45 45 75 45 ^ 45 45
= 4––1— = 4—–2— = 2—
45 45 45 45 45
4 , 11 9 1 .22 .27 6 .22 („27 „ ,
r) 4 2 = 4 2 = 4 2— + — =
30 10 10 60 60 60 60 I 60 60.

=4^–2“ 60 60
, ,22) („ 33) (, 82
+ 60J Г + 6о)л +60
n 33 .
2 + — =1 — 60

4.16. Умножение и деление смешанных дробей
1000. Чтобы умножить или разделить смешанные дроби, можно записать их в виде неправильных дробей и выполнить действия с обыкновенными дробями.

1 6 2 12 2 1001.а) 1—–2 = — • — = — = 2—
5 5 1 15 5
В)831ЛЛ
4 1 4
ч Л г 3 2 23 46 ,, 2 ,, 1
д) 2–5— = = — = 11—= 11—
4 1 4 4 4 2
ч 2 12 17 4–17
ж) 12–5– = = = 68
3 13 1
,002. а) ,1.1 = 11 Л
5 6 5 6 5
в) – 4––– 9_71_7_з1
9 2~9•2~1–2_2— 2
. , 1 ,1 3 4 1–2 .
д) 1–1– = = = 2
2 3 2 3 1 1
Ж) 72 21 23 9 23 3 69 1? 1
3 4 3 4 1–4 4 4
.. 1 ИЗ 33 3
б) 2–3 = = — = 6–
5 5 15 5
г) 32.8 = 23 8 = 184 = 2б1
7 7 17 7
e)2i.9=il^=H = 251
5 5 15 5
1 190 9 190
з) 21––9 = —•– = —= 190
9 9 11
2 2 12 2 4–2 8 3
б) 2– – = — •– = — = – = 1–
5 3 5 3 5–15 5
3 J__ 3 10 110 10 3
7 3~7 3 ” 7–1 “ 7 “ 7
ч _ 1 ,3 5 8 1–4 л
е) 2–1– = = = 4
2 5 2 5 1 1
з 52 _1__ 27 10 3–2 6
5 9 ~ 5 •9 1 ¦ 1 ~
1 3 1 2
1003. т .к. 1— = —, то число, обратное к 1—, есть —.
2 2 F 2 3
Т.к. 2— = —, то число, обратное к 2–, есть —.
3 3 3 7
^ 2 12 ^ 2 5
Т.к. 2— = —, то число, обратное к 2—, есть —.
5 5 F 5 12
Т I4 11 ,4 7
Т.к. 1—= —, то число, обратное к 1—, есть —.
7 7 7 11
1004. а) Т.к. а • b = 1 и а–—, то b–l:a = \: — = 1 • — = —.
5 5 2 2
5
Ответ: —.
2
L t ^2 16 , , , 16 , 7 7
б) Т.к. а • b = 1 и b = 2— = —, то а = \:Ь–\: — = 1 —.
7 7 17 16 16
7
Ответ: —.
16
1005. Не могут, т.к. иначе а • b > 1, что противоречит определению взаимообратных чисел а и Ь.
inn, 1 6 2 6 1 3 2 12 3 12 I 4
1006. а) 1—: 2 = —: — = = – б) 2–:3 = — :– = = –
5 51525 5 51 535
В) 9 2—= — ¦ — —= 4 г) 3––2 = — ¦– = — ! = –
4 14 19 7' 7 1 12 1
д) 2:5^ = –: —= –•— = – с) 2• = Л
3131 16 8 5 51575
ч „2 12 8 12 3 9 ч 1 с 85 5 85 1 17
ж) 12:2– = — :– = = – з) 21—:5 = — :– = —
3 1 3 1 8 2 4 41454
Ю07. а) 1—: — = — • —= 6 б) = =
5551 53525
в) 1–4– = –– —= – —–— v 1.31_?.Н–? 2.–1
В 9' б“9'б_925 _15 6' 3 6 3 ~ 6 ' 10 ~ 4 ’
д) 2i–l– = – – = –.l = l е) з––1– = ––– = ––– = 2
Д 2 3 2'3 25 2 2 4 2'4 27
ж) 2––1– = — •– = — 1–2 з) 5––1––2I– —9 – 243
Ж 5 5_5 5~5 6_ 5 9_ 5 ' 9 ~ 5 " 10_ 50
1+– |–2 = 1–2 + —–2 = 2 + —= 2—
51 5 5 5
в) 2~3 = |2 + ДЗ = 2–3 + –!––3 = 6 + – = 6–
5 V 5 J 5 5 5
1 ( П 1 3 3
г) 3––3= 3 + – –3 = 3–3 + ––3 = 9 + – = 9–
4 V 4) 4 4 4
д) 2—–3=^2 + —1–3 = 2–3 + —–3 = 6 + —= 6—
1 \ 1) 7 7 7
е) 2–5–!– = 2–| 5 + –| = 2–5–н2–— = 10 + — = 10—
4 V 4 J 4 4 2
4 ( 4^ 4
ж) 2––9= 2 + – –9 = 2–9 + ––9 = 18 + 4 = 22
9 I 9 9

4

= 2–5 + 2— = 10 + —= ю + 1 —

и) 2~3=(2 + –^
9 I 9
•3 = 2–3 + –!–.з = б + 2 = б2
9 3 3

1 4 ( 1 4^1
1009.6) 1—–Зн—3 = 1—+ — –3 = 23 = 6
5 5 {5 5)
4 4 ( 4 4^1
в) 2— 3 — — –3 = I 2–— –3 = 2–3 = 6
5 5 I 5 5
ч л4 5 1 5 (.4 ^О
г) 2 + 6 = 2—+ 6—
5 9 5 9 I 5 5

, 04 ,15
д) 2 1
3 5
5
– = 1 = = 1
.8 5 8 5 8

_1_
12
i.il
4 5
в) 5 = —
7 9 19 7
33 1.^=27
8 2 16 8
..5516
д) 5 5 :
7 12 4 7
40–5–21–6–2 “ 7–12–4–7–3 ”
и = ’ 12 7 1 12 –7–1
7 8 25––; ?–8 5– 7–2
5 1 4–5 •1 1 –1–1
5 14 38– 5–14 2–5–2
9 19 7– 9 19 1–9–1
1 16 27 116 3–1–1
2 9 8– 2–9 1–1–1
!» 1
о 21 6 3
2 7 12 4 7 ' ' 2
10 –5–1 –1–1 50 _71
1– 1–1– 7–1 7 7
49 62 6 49–62–6 7–31–1
1–1–1
_ 20 _, 9
= 3

2– 4 + 19–5 30 2 4 9 | 1 103–30 2–4–9 | 21 _
60 103 1 9 32+ 3 ~ 60 103 1–9–32 3~~
_1_ 1 1–1–1. 1–1 7 1–3 + 7–4_31 7
~2 4+ 3 ~ 4 4+3_4+3“ 12 ” 12 " 12

2 2 10 2 1 ( 10
= 21—–– — •10— = 21— 10 + —
59 5 59 59 5 I 59
= 2lA_i.l0_IJ°=21A_2_A = l9
59 5 5 59 59 59
20:2—+ 25– : 1— “ : “ + ^ “
15 7 35 1 15 7 35
1012. a)
7 2
21—: 4— — 1
9 3
2d + 4:7_IiZ. 2 (.28– — –––
41 + 11 3 • 4 ... 4 + 12 ^ 12 12
2 43 1 53–53–
3 51
532 –^.l 3 15 8

 

28
2 • 5 – 3 • 3
15
169 1 _ 169 676
6 15 _ 6 15
169 15
6 676

9^ 5 4 24
•– = 2— –5 = — –5 = 12
1 10 10
42_21 + 71_8Z 4M_2 «+7“–82.
5 4 15 60 _ 60 60 60 60 _

16 1 | 17–24 51 16 | 17–24 10 jZ + 8–9Z
"33 10 10~ 9 + 10 51 “ 9 9
4.18. Представление дробей на координатном луче
1• .1
з 2
666666666666
1014.
Масштаб: единичный отрезок — 2 см.

а) a = 2,c = 5=>b = 2–5–2 = 8
б) a = –,c = 3^b = 2–3–– = 5–
2 2 2
ч 1 2 . _ 2 1 16 3 , 1
в) а–— , с = — =>о = 2 = = 1—
4 3 3 4 12 12 12
1019. а) Найдем длину отрезка АВ: 1) 9~“5=4—
и ~ „ 1 , 9 1 3 . 1
Найдем длину одной части: 2) 4—: 3 = — = 1—
2 2 3 2 2
Найдем координаты точек: 3) 5+ 1–2 = 6–2 — координата первой точ
ки; 4) 6–2 +1–2 = 8 — координата второй точки.
Ответ: 62 8.
2
2 1 1
б) Найдем длину отрезка А В: 1) —– — = —
Найдем длину одной части: 2) 2 :3 = 2.2 — _2_
9 9 3 27
и – ,х 2 1 6 i 7
Найдем координаты точек: 3) — + — = — +— –— — координата
9 27 27 27 27
7 18
первой точки; 4) ~ + ~ = — — координата второй точки.
7 8 Ответ: —, —.
27 27
4 + 6
1020. а) – = 5
2
3 + – 1 1 1
б)—2–=i2+2=il .
2 2 4 4
3— + 2—
в) V!4=1I + I + 1 + i = 212l8 + 3 = 223
2 2 3 8 24 24
1021. a) C[^~Y] б>
в) ОД, r) C^ + ^j, D^ + |(6–a)}
5 + 3 4–7 . 1 + 2 + 10 13 ,1
1022. а) = 5 б) = — = 4–
3 3 3 3
ч 12 + 15 + 18 1Г х 1 + 2 + 5 + 12 с
в) = 15 г) = 5
3 4
х 100 + 200 + 300 ч 3 + 4 + 5 + 6 + 7 г
д) = 200 е) 5
1023. а) Пусть это числа а и Ь.
a + b I • л
Тогда = 5, следовательно а + Ь = 10
2
Ответ: 10.
б) Пусть это числа а,, а2, а}, а4, а5.
_ а, + а7 + а, + а. + а, лп
Тогда — —^ – = 2, следовательно, а\ + а2 + а} + а4 + а5 = 10.
1024. Пусть возраст травмированного игрока — а лет, возраст остальных десяти футболистов — Ь лет.
a + b Ь 4
Тогда = 21, — = 20—.
11 10 5
Найдем b:
1) 6 = 20—10 = 200 + 8 = 208 (л.)
Найдем а:
2) а = 211 \–Ь = 231–208 = 23 (г.)
Ответ: 23 года.
1025. Пусть возраст учителя — х лет, суммарный возраст всех учеников — у лет. Средний возраст ученика — у^–.
Найдем у:
1) Л = ю!<=>.у = 32 –10–1 о = 336 (лег)
32 2 2
Найдем х:
2) = Цо 336 + х = ц = зз–и–336 = 363–336 = 27 (лет)
33 33
Ответ: 27 лет.
4.19. Площадь прямоугольника.
Объем прямоугольного параллелепипеда
1026. a) S = а • Ь, где а — длина, Ь — ширина прямоугольника.
б) S = а ¦ Ь • с, где а — длина, Ь — ширина, с — высота параллелепипеда.

2 5 2 5 10
1028. Пусть а — длина прямоугольника, b — ширина, S — площадь.
S
Тогда длина вычисляется по формуле а =—.
a) a = j = 8 (дм) б) a = –i = y––l = 10 (дм)
2 5
.,3 4 8 4 3 , 1 ч ,,1 , 5 4 4 .1, ч
в). д=4:1—=—:–= =1— (дм) г) а=4:1—=4:—= =3— (дм)
513182 4 415 5
1029. 1) S = a b–l— 3— = — • — = — = 5–1 (дм2) — площадь прямо–
5 4 5 4 4 4
угольника.
«.ч ,3^1 J 28 75^
+ 6Ь2–1 1– + 3– 1 = 21— + — = •
10
метр прямоугольника
v 2
1030. a) S = а2 = j^–jj = — (см2) — площадь квадрата; 2 3
Р = 4д = 4—= 1— (см) — периметр квадрата.
(4 У 16 2
б) S = а = 1 ~1 = — (дм ) — площадь квадрата;
п „ ^ 4 16 .1 , ,
г = 4а = 4 • — = — = 3— (дм) — периметр квадрата.
( 3 V 9
в) 5 = а2 =1 — 1 = (м2) — площадь квадрата;
п „ ^ 3 12 I / ч
г = 4'а = 4~ = – = 1– (м) — периметр квадрата.
т) S = а =1 1— I =1 — 1 = — (дм ) — площадь квадрата;
V 4) ^4J 16

1) 2–21= 42 (м2) — площадь всей крыши.
2) 42 : 10 = 4,2
Следовательно, потребуется 5 банок краски.
Ответ: 5 банок.
1032. Найдем площадь пола:
1) 4 м 50 см • 2 м 40 см = 4,5 м • 2,4 м = Ю— (м2)
2 5 2 5
Найдем общую площадь плиток в одном ящике:
15 15
2) 15 см • 15 см = 0,15 м • 0,15 м =
одной плитки;

225 225 ' 1
= = 1– (м2) — общая площадь плиток в одном ящике.
10000 200 8

5858595 5
Следовательно, потребуется 10 ящиков. Ответ: 10 ящиков.

=4 о•3);
1033. a) V = a3=\ –

64 о10 , 3,
~2Tl (см);
3.1331^0^1^3).
125 125

а) V = а–Ь–с = ––––– = — (м3);
3 4 24
3 5
3–1 3 , 3
= = — (дм );
3) 4 7 1–2–7 14
3
в) V– а • b • с = 50 мм • 2 см • м = 5 см • 2 см • 3 см = 30 (см3);
100
23
г) V = а ¦ b ¦ с = —— дм • м • 2 дм = 30 см • 23 см • 20 см =
10 100
= 13800 (см3) = 13,8 (дм3).
= — (см ) — объем куба;
6 4 8 ,2 , 2.
= — – — = — = 1— (см ) — площадь всех граней.
= 6–о = 6–1 | б) V –а3 = (м3) — объем куба;
5 = 6–^ = бГ1Т=– — = —= 3^1 (м2)
5) 1 25 25 25
площадь всех граней.
. 111 4•1•1 1. з–
a) V = abc = \– – – = – (дм);
4 2 3•4•2 6
1 1
1 1
4 2
25 л1 / 2ч = – = 4– (дм );
о о

«ч г/ 1 1 1 1 1 5 1 1,3,
б) V = —–1 — (дм );
4 3 5 4 3 12

1) V = а•6•с = 6•8•3—= 6•26 = 156 (м3) = 156000 (л) — объем
4
классной комнаты;
2) 156000 : 25 = 6240 (л) — приходится на каждого ученика.
Ответ: 156000 л, 6240 л.
1)F1 = 42cm •1 м • 2— м = — м • — м • — м =
28 2 50 3 2
= ~ !– • м3 = — м3 — объем первого аквариума.
101•2 20
„w, 1 .1 54 1 П 27 1 11 з
к2 = 54 см • — м • 2— м = м• — м• — м= м =
4 5 100 4 5 50 4 5
297 з
м
1000
_ 7 350 297 _ _
Т.к. — = > , то объем первого аквариума больше.
1000 1000
V=a–b c = (a b) c = S c = 16•2— = 16•2 + 16 — = 36 (м3),
29 4
где а — длина, b — ширина, с — высота, S = а • b — площадь комнаты.
20
а — — дм = — см = 4 см;
30 5
А 1 10
о = — дм = — см = 2,5 см;
4
1 10 «
с – — дм = — см = 5 см.
2
ь
а Ь

Ь

1 100 и
а = — м = см = 4 см
25 25
V= а• = 43 = 64 см3 объем куба
= 6 • а~ = 6 • 4" = 96 см2 — площадь поверхности куба.
о а

а
1042. а) 1: — = 4 (кв.)

г) 1: — = 25 (кв.) 25
Дополнения к главе 4
1. Сложные задачи на движение по реке
Примем все расстояние между пристанями А и В за единицу,
тогда за 1 ч плот проплывает по реке 1:6 = — этого расстояния, а те–
6
плоход проплывает по озеру 1:3 = — такого же расстояния.

Л1Ч 1 1 2 + 1 1
а) 1) — + — = —— = — (расст.) — такую часть расстояния проплывает
теплоход за 1 час по течению реки.
2) 1:1 = 2 (ч) — за столько времени теплоход проплывет расстояние
А В по течению реки.
п 1 1 2–1 1 , ч
1) = — (расст.) — такую часть расстояния проплывет
6 6 6
теплоход за 1 час против течения реки.
2) 1:1 = 6 (ч) — за столько времени теплоход проплывет расстояние 6
АВ против течения реки.
Ответ: а) за 2 ч; б) за 6 ч.
Примем все расстояние за единицу.
1:12=1– (расст.) — проплывает бревно за 1 ч по течению реки (скорость течения реки);
1:3 = — (расст.) — проплывает теплоход по течению реки за 1 ч;
лч 1 1 4–1 1 ,
–~ — = — ~ — (расст.) — проплывает теплоход по озеру за 1 ч;
1:1 = 4 (ч) — будет плыть теплоход это расстояние по озеру;
4
4) 1: = 10 (мин) — будет плыть катер это расстояние по озеру;
„ 1 1 3 + 2 1
То +17 = ~30 ~ ~6 (Расст'^ — проплывает катер по течению реки
за 1 мин;
6) 1: — = 6 (мин) — будет плыть катер это расстояние по течению 6
реки.
Ответ: а) 10 мин; б) 6 мин.
Примем все расстояние за единицу.
1:8 = 1 (расст.) — проплывает катер по течению реки за 1 мин;
8
1:12= (расст.) — проплывает катер по озеру за 1 мин;
,ч 1 1 3" 1 X ч
) — (расст.) — проплывает плот за 1 мин;
8 12 24 24
1: –^1– = 24 (мин) — будет плыть это расстояние плот;
^ 1 1 2–1 1 г ч
12~ ~ 24 ~ 24 ~ 24 (расст'^ — проплывает катер против течения
реки за 1 мин;
6) 1: – 24 (мин) — будет плыть катер это расстояние против те
чения реки.
Ответ: а) 24 мин; б) 24 мин.
Примем все расстояние за единицу.
1:30 = –^ (расст.) — проплывает лодка против течения реки за
мин;
1:10 = (расст.) — проплывает лодка по озеру за 1 мин; „113–11
1027. ) = = — (расст.) — проплывает плот за 1 мин;
1031. 30 30 15
1: = 15 (мин) — будет плыть плот это расстояние по реке;
сч 1 1 3 + 2 1 ,
— + — = ^ =~ (расст.) — проплывает лодка по течению реки
за 1 мин;

6) 1: — = 6 (мин) — будет плыть лодка это расстояние по течению 6
реки.
Ответ: а) 15 мин; б) 6 мин.
Примем все расстояние за единицу.
1:15 = — (расст.) — проплывает лодка по течению реки за 1 мин;
1:60 = — (расст.) — проплывает лодка против течения реки за
60
(расст.) — проплывает бревно по реке
1: — = 40 (мин) — будет плыть бревно это расстояние по озеру;
40
.. i 1 8–3 1
—– —= ¦ =— (расст.) — проплывает моторная лодка по
озеру за 1 ч;
1: — = 24 (мин) — будет плыть моторная лодка это расстояние по
24
озеру.
Ответ: а) 24 мин; б) 40 мин.
Примем все расстояние за единицу.
а) 1) 1:3 (расст.) — проплывает теплоход за 1 день, когда плывет от Киева до Херсона;
1:4 = — (расст.) — проплывает теплоход за 1 день, когда плывет
4
от Херсона до Киева;
(\ П . 4–3 1 1 .
I — – — 1:2= (расст.) — проплывает плот за 1 день;
1:–— = 24 (д.) — будут плыть плоты.
Ответ: 24 дня.
б) Примем все расстояние за единицу.
1:5 = 1 (расст.) — проплывает теплоход за 1 день, когда плывет из Нижнего Новгорода в Астрахань;

1:7 = — (расст.) —– проплывает теплоход за 1 день, когда плывет обратно;
7–5 1 1
— — : 2 = = — (расст.) — проплывает плот за 1 день;
2 35
1: = 35 (сут.) — будут плыть плоты.
Ответ: 35 суток.
3. Занимательные задачи
Треть — 1. Полтреть — 1. Полполтреть — Полполпол–
1
треть .
24
3 9
1) 1—1— = = — (арш.) — было куплено;
2 2 2 2 4
2—–2—= — • — = — (грн.) – было заплачено;
2 2 2 2 4
25 9 25
—: — = — (грн.) — стоимость одного аршина;
.. _ 1 1 17 17 289 /
2 2=ТТ=Т (арш.) — куплено;
289 25 7225 25
) = 200— (грн.) — надо заплатить.
4 9 36 36
25
Ответ: 200— гривны.
Примем объем водоема за единицу. Тогда первая труба за 1 час
1 1 1
заполняет 1 водоем, вторая — — водоема, третья — — водоема.
2 5
Имеем:
1Ч . 1 I 6 + 3 + 2 11 , ч „ ^
1ч н — = — (вод.) — заполняют 3 трубы за 1 час;
2 3 6 6
1: — = — (ч) — за столько времени три трубы вместе заполняют
11
водоем.
Ответ: — ч.
11

1) 1 + 1 = = ~ (фунта) — весили пятириковая и шести–
риковая свечи вместе;
11:11 = 11 • –jy = 30 (к.) — стоит фунт стеариновых свечей.
Ответ: 30 к.
а) Пусть количество — л:. Тогда:
х 5 • • 15–4
х + — = 15 <=> = 15 <=> х = <=> х = 12
4 4 5
б) Пусть количество — х. Тогда:
Х Зх п 9–2 ,
л: + — = 9<=> — = 9 <=> x = од: = 6
2 2 3
Ответ: 6.
Устный.
1:1 = 1 р.
2 2
Предположим противное. Пусть 1 = 1 + 1 + 1 + —, где а, b, с,
abed
d— нечетные натуральные числа. Тогда:
, bed + acd + abd + abc , , , ,
r <z> abed = bed + acd + abd + abc
abed
Заметим, что слева стоит нечетное число (как произведение нечетных чисел), а справа — четное (как сумма четного числа нечетных слагаемых).
Получили противоречие.
Ответ: нельзя.
Примем расстояние от угла до пола за единицу. Пусть скорость первой мухи — а, тогда вторая муха спускалась со скоростью 2а, подымалась со скоростью Имеем:
,ч 1 1 1
— + — = общее время первой мухи на весь путь;
а а 2а
оч 1 1 1 2
— + — = — + общее время второй мухи на весь путь.
2а <•_ 2а а
2
121
+ — > —, следовательно, первая муха приползет обратно ра–
а а 2 а
ньше.
Ответ: первая.
x–^ + lj = 2<=>–^––l = 2<=>;c = 2– 3<=>x = 6 (книг)
Ответ: 6 книг.
б) Пусть у мамы было х конфет. Тогда дочери мама дала | ~+1
конфет. Сыну дали половину ос–
JJ
татка и осталось 5 конфет. Имеем:
( f – W г „ \
: 2 = 5 <=> I ––1
2
x x
—1 = 10 <=> — = 11 <=> x = 22 (конф.) — мама дала детям.
Ответ: 22 конфеты.
а) Пусть было х денег. Тогда старшему сыну досталось

:2 + 1 | = —– —+ 1 = —+ —р. Осталось
4 2 4 2
'f–iJf+i"
14 2
'х 3
= Г2Р–

О I • 3
: 2, осталось
1 4 2
Младшему досталось [ — – —
И 2.
ляет 3 р.
Имеем:
— — 1:2 = 3 <=> — – — = 6 <=> х–6 = 24<=> х = 30 (р.)
4 2) 4 2 ^
Ответ: 30 р.
б) Пусть у крестьянина было х денег. Тогда первому купцу он упла
: 2 р., что состав–
гх 4 –+1 ч2

уплатил | |–^––1 j:2 +2 =^––1+2+ ^ Р–
У
Осталось
Из условия следует, что ^ 1 j: 2 р. составляет 1 р.
Имеем: (— — — |:2 = 1 <=> — — — = 2<=>д: —10 = 8<=>л: = 18 (р.)
U 2) 4 2
Ответ: 18 р.
а) Сможет, т.к. половина всего шоколада и еще полшоколадки — это две шоколадки,
б) 3 яблока.
карандашей.
в) Пусть было х карандашей. Тогда сестра взяла | ^ +1
Осталось | х – ^ +1 даша. Имеем:
—–1 = 4ол:–2 = 8<»л: = 10.
2
Ответ: 10 карандашей.
Пусть крестьянка принесла x яиц.
+ = (яиц) — осталось после первой покупки;
I —– —]:2+—= —+ — (яиц) — купила вторая покупательница;
х 1 Г • П х 3 . .
) — + — = (яиц) — осталось после второй покупки;
2 2 \4 4) 4 4
х 3
) = 10 <=> х–3– 40 <=> х = 43 (яйца) — принесла крестьянка на
1028. 4
рынок.
Ответ: 43 яйца.
Пусть у табунщика было х лошадей.
х 1
х:2 + 1:2 = — + — (л.) — получит первый казак;
(X О• 1,4
х–\ — + — = (л.) — останется;
U 2) 2 2
.. fxH–ljrllxl..
) 1:2 + — = + — = — + — (л.) — получит второй казак;
\2 2) 2 4 4 2 4 4
х 1 (х П х 3
) — + — (л.) — останется;
2 2 U 4) 4 4 ’
Х , – А
= — –1 карандашей, что составляет 4 каран–

х 3 4 х 1
: 2 + — = + – = — + – (л.) – получит третий казак;
8 8 8 8 8
8
х 3 (х 2х 6 х 1 х 7
) — + — = = (л.) — останется;
44 1.8 8J 8 888 88
х 7
) = 5<=>x–7 = 40O.V = 47 (л.) — было у табунщика.
8 8
Следовательно, у первого казака будет f + \ = 24 лошади, у вто–
Г47 О – Г47 л ,
рого — ¦ I — + — I = 12 лошадей, у третьего — I — + — I = 6.
Ответ: 24, 12, 6.
Примем весь торт за единицу. Тогда первому другу достанется
1
торта.
1–—= — (т.) — останется;
6 6
1 1
) = — (т.) — получит второй друг;
5 6
1029. 1 4 , ч
) = — (т.) — останется;
1030. 6 6
лч 4 1 1 / Ч
) = — (т.) — получит третии друг;
6 4 6
^ 4 1 3 1 г ч
) = — = — (т.) — останется;
6 6 2
ач 1 1 1 . ч
31 ) = — (т.) – – получит четвертый друг:
3 6
^ч1 1 3 1 2 !,ч
32 ) = = — = — (т.) — останется;
6 6 6 6 3
1:2 = 1— = — (т.) — получит Саша и пятый друг.
3 2 6
Ответ: все получат поровну.
а) Решим задачу графически
А — певцы В — танцоры

В пересечении множеств А и В находятся ученики, которые являются и певцами, и танцорами. Пусть всего их х человек. Тогда всего певцов — 5х, танцоров — 4х человек, то есть певцов больше,
б) Решим задачу графически
А — говорящие по–английски В — говорящие по–немецки
В пересечении множеств А и В находятся члены делегации, которые говорят и по–английски, и по–немецки. Пусть всего их х человек. Тогда говорящих по–английски — 6х, по–немецки — 5л: человек. То есть говорящих по–английски больше.
в) На вопрос задачи ответить нельзя, т.к. в данном случае множества не пересекаются.
Примем расстояние за единицу.
, 1 1 Ю 3 ,
(расст.) — проезжает легковая машина за I ч;
1:5 = — (расст.) — проезжает грузовая машина за 1 ч;
1 3 + 2 1 ,
—+ — = = — (расст.) — на столько сближаются машины за 1 ч;
10 5 10 2 ^
1:1 = 2 (ч.) — через столько времени они встретятся.
Ответ: через 2 ч.
Примем вес короны за единицу. Пусть доля золота — х, меди — у, олова — z, железа — w. Заметим, что x+y+z+w– 1, т.к. корона состоит только из этих металлов. Составим уравнения из условия:

Заметим, что:
(• + У) + (• + z) + (• + w) = 2х + (х + у + z + w) = 2х + 1

Следовательно, масса золота 60 = — = 30—
120 2 2
Найдем долю меди:
_2_ _ 2 61 80–61 19
У~3 Х~3 120 ~ 120 ~~ 120
Т 19 АЛ 19 О1
Тогда масса меди 60 = — = 9— мины.
120 2 2
Найдем долю олова:
_3_ _ 3 61 90–61 _ 29
Z ~ 4 Х~4 120 ~ 120 ~ 120
29 1
Тогда масса олова 60 = — = 14— мины.
120 2 2
Найдем долю железа:
_3_ _ 3 61 72–61 _ 11
W_5 •~5 120 ~ 120 ~ 120
т 11 11 с1
Тогда масса железа 60 = — = 5— мины.
120 2 2
Ответ: 30—, 9—, 14—, 5— мины.
2 2 2
а) т.к. 35 не делится на 3.
б) Число учащихся должно быть кратно 15.
в) Число учащихся должно быть кратно 8 и 5, т.е. кратно 40.
г) Число учащихся должно быть кратно 5 и 7, т.е. кратно 35.
Число послушных девочек равно числу непослушных мальчиков, следовательно, число послушных детей равно числу мальчиков.
Девочки Мальчики
непослушные непослушные

Заштрихованные части равны.
1) 5 + 4 = 9 (км.) — на столько сближались охотники за 1 ч;
18 : 9 = 2 (ч) — через столько времени встретятся охотники (столько времени бегала собака);
2–8= 16 (км) — пробежала собака.
Ответ: 16 км.
92 93 94–91–92–93 _ 92–93–(94–91) _ 92–93–3 _ 92 _ 46
93 • 94 • 95 – 92 • 93 • 94 ~ 93 • 94 • (95 – 92) _ 93 • 94 • 3 ~ 94 ~ 47
1) 25:14 = — (мин) — через столько времени папа доплывет
14
до конца дорожки;
275
—11 = –j–j– (м) — проплывет сын за это время;
.. 275 350–275 75..
25 = = — (м) — расстояние между отцом и сыном;
14 14 14
14 + 11 =25 (м/мин) — скорость сближения отца и сына при движении навстречу друг другу;
75 75 1 3
—:25 = = — (мин) — через столько времени после того
14 25 14
как папа развернулся и поплыл навстречу, они встретятся;
п 25 3 28
) 1— = — = 2 (мин) — через столько времени после старта они
14 14
встретятся.
Ответ: через 2 мин.
1) 1––5– = 1 (зад.) — выполнил первый рабочий;
4 4
3
1 — = — (зад.) — осталось выполнить;
4 4
оч 3 1 1 , ч w _ w
) = — (зад.) — выполнил второй рабочии;
4 3 4
1 1 , v
) = — (зад.) — осталось выполнить;
4 2
1 •— = — (зад.) — выполнил третий рабочий;
2 4
1—– = J. (зад.) — осталось выполнить (выполнил четвертый ра–
4 4
бочий).
Ответ: все выполнили поровну.
Примем число всех студентов за единицу.
1 – –у = 1 (ст.) — сдали первый экзамен без двоек;
~ 6 1 3
) = — (ст.) — сдали второй экзамен на двойку;
8 28
) — (ст.) — сдали третий экзамен на двойку;
28 9 84
7 63–7 56 2
) = = — = — (ст.) — сдали три экзамена без двоек.
28 84 84 84 3
2
Ответ: у студентов.
Половина гусей и еще полгуся составляют 8, то есть половина — это 8,5 гуся. Следовательно, всего было 2 • 8,5 = 17 i–усей в стае.
Ответ: 17 гусей.
ЗАДАЧИ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ

в) 615+ 876= 1491
д) 354–221 = 133
ж) 923–281 =642
а) 39 –48= 1872
в) 74 • 506 = 37444
д) 294 : 7 = 42
б) 729 + 628= 1357
г) 359+ 857= 1216
е) 284 – 139= 145
з) 725– 189 = 536
б) 75 • 324 = 24300
г) 708 –807 = 571356
е) 276 : 23 = 12

з) 11328 : 16 = 708
а) 450 • 240 – 1200 • 45 – 4500 • 12 + 5 =
= 45(2400 – 1200 – 1200) + 5 = 45 • 0 + 5 = 5
б) (4750 : 19 – 19 – 13) • 84 – 242 = (250 – 247) • 84 – 242 =
= 3 • 84–242 = 252–242= 10
в) (723600 : 90 – 40 201) • (1234 4321 – 1999) + 5 =
= (8040 – 8040)(1234 • 4321 – 199) + 5 = 0 + 5 = 5
г) 1998 • 1999 – 19982 – 1993 = 1998(1999 – 1998) – 1993 =
= 1998– 1993 =5
а) 9357 – 7288 + 3579 + 7290 – 3578 =
= 9357 + (3579 – 3578) + (7290 – 7288) = 9357 + 1 + 2 = 9360 6)5544:88–5481 : 87 + 5454 : (100 –46) = 63 –63 + 5454 : 54= 101
а) 354 • 49 : 1239 + 357 • 48 : 56 =
= 6 • 59 • 7 • 7 : (3 • 7 • 59) + 3 • 7 • 17 • 8 • 6 : (7 • 8) =
= 2 –7 + 3 • 17 –6 = 14 + 306 = 320
б) 56 • 749 : 49 – 836 : 44 • 45 = (49 + 7) • 749 : 49 – 836 :44 • (44 + 1) = = 749 + 7 • 749 : 49 – 836 – 836 : 44 =
= 7 • 7 • 107 : 49 – 19 • 44 : 44 – 87 = 107 – 19 – 87 = 1
Устный.
а) 35 • 17 – 35 • 16 + 65 • 99 – 65 • 98 =
= 35(17 – 16) + 65(99 – 98) = 35 + 65 = 100
б) 79 • 23 + 21 • 23 – (23 • 123 – 23 • 23) =
= 23(79 + 21 – (123 – 23)) = 23(100 – 100) = 0
а) ((16000 : 32 – 1640 : 82): 15 • 7000 – 192000): 40 =
= ((500 – 20): 3 • 1400 – 192000): 40 = (160 • 1400 – 192000): 40 =
= 4 1400 – 4800 = 4(1400 – 1200) = 800
б) ((97264 : 8 + 1284200 : 100): 1000 • 7 + 947) • 100 =
= ((12158 + 12842): 1000 • 7 + 947) • 100 =
= ((25000): 1000 • 7 + 947) • 100 = (25 • 7 + 947) • 100 =
= 1122 • 100= 112200
в) ((24 • 250 + 18 • 350): 60 • 400 + (44 • 4500 + 108 • 1500): 20): 400 = = (12300 : 60 • 400 + 360000 : 20): 400 =
= (205 • 400 + 18000) : 400 = 205 + 45 = 250

г) (64 • 125 + 128 • 75): 800 • 5000 – (300 • 400 + 5107 • 800): 70 = = 64 • 125 : 8 • 50 + 128 ¦ 75 : 8 • 50 – 420560 : 7 =
= 50000 + 60000 – 60080 = 49920
д) (24347420 : 8105 + 572580 : 180) • 504 + 18 • 999380 : 9223 =
= (3004 + 3181) • 504 + 2060 = 3117240 + 2060 = 3119300
е) (31440+ 1040 :(150 – 2400 : (67 + 53)) ¦ 20): 395 + 1001 =
= (31440 + 1040 : (150–2400 : 120) • 20): 395 + 1001 =
= (31440+ 1040: 130 20): 395 + 1001 =
= (31440+ 160): 395+ 1001 =80+ 1001 = 1081
ж) 960: (2000: (10002 – (6085 + 2926) –966)) =
= 960: (2000:25) = 960:80 = 12
(367710:35 – 2335242:329) •375
з)
((16531–343 + 763–1099): 718–65)–71 (10506–7098)–375 ((5670133 + 838537): 718–65)–71 ".
3408–375 3408–375 48–375 48–1
¦=2
(6508670:718–65)–71 (9065–65)–71 9000–1 24–1
(41811:1367 + 506 (3000–2877)): 153 (1293516:1827 – 608597 :907) • 11 (33+ 506 123): 153 62271:153 407
= 1
(708–671) • 11 37–11 37–11
ч 48–35 + 20 731:17 + 2109:37
а) =
45–37 + 35 3942:54 + 1755:65
1680 + 20 43 + 57 _ 1700 100 _
~~ 1665 + 35 73 + 23 _ 1700 ~ 100 _
53–35–221 46–64–1306 16807:7
646:17 702:18 + 343–7
1855–221 2944–1306 2401 1634 1638
а) 45 • 38 + 45 • 11 = 45 • (38 + 11) = 45 • 49 => делится
б) 48 • 56 – 48 • 39 = 48 • (56 – 39) = 48 • 17 => делится
в) 725 • 47 – 47 • 701 = 47 • (725 – 701) = 47 • 24 = 47 • 24 =
= 47 • 2 • 12 => делится
г) 289 • 376 – 289 • 327 = 289 • (376 – 327) = 289 • 49 =
= 289 • 7 • 7 => делится
д) 17 • 386 – 17 • 254 + 17 • 138 = 17 • (386 – 254 + 138) =
= 17 • 270 = 17 • 27 • 10 => делится
шоо ч 48 1 •ч 160 2 Л 64 1
а)— = — б) = — в) = —
96 2 240 3 128 2
.21 = 1 lil–i 384 _ 3
225 “3 100 “ 5 640 " 5
ч 385 7 ч 204 68 ч 182 7
Ж 440 ~ 8 3 225 “ 75 И 208 “ 8
ч 304 4 ч 750 2 ч 2688 7
к) = — л) — м) = —
380 5 1875 5 3456 9
а) 5 6)15 в) 5 г) 7
д) 11 е) 8 ж) 8 з)10
и) 8 к) 16 л) 6 м)20
mot ч 43 «чо2 29 ЧИ3 23
а) 5– = — б) 9— = — в) 4– = —
8 3 3 5 5
ч –7 7 77 w4 29 ч ,, 19 379
г) 7— = — д) 5– = — е) 13— =
34 10 5 5 20 20
ч с 9 89 ч . 1 701 . ,,12 284
ж) 8— = — з) 7 = и) 16— =
2) 10 100 100 17 17
Л ,_5 107 ч,п" I"9 ч _ Э57 7357
к) 17— = л) 19 = м) 7 =
6 100 100 1000 1000
I
1АП, ч 2 1 113
а) + = — = – = – — не равны;
3

mo–j Ч 2 3 2–7 + 3–9 41
a) — + — = = —
7 9–7 63
, 5 25 5–3 + 25–2
в) — + — =
24 36 72
м1 о1 < 7 + 8 <
д) 3—(– 2— = 5 + = 5
33 7 56 56
1094.а)2–1 = 2±±^
7 35 35
3 7 + 6 13 ,5
б) – + – = = — = 1–
4 8 8 8
39 59–2 + 39–3 235 .2:
+ 40 ~ 120 ~Т20
..1 ,2 1 + 4 5
е) 5—+ 1—= 6 + = 6—
3 6 6
б>•_1
9
11 11 _ 99–88 11
80 90_ 720 ~ 720
4Q1 i1 < 9~7 с2
е) 8—3– = 5 + — = 5
л < о 1 и13 о 1 о
д) 5–2— = 4 2—–2
13 13 13 13
1095. а) —
5 7 35
11 8 – 5–1 5 16•9 2–3~6
4 3 , –3 5_,
5•3 53
,096..)
5 7 5 3 15 15
в)8:?Л.1^п1
7 15 5 6
1 5 25 9 5–3
Д) 8–:– = — .– = — = 15 3 9 3 5 1–1
6)2.i.=i2 5 27 5–9
2 5–2
г) 5.± = ±± =
11 И
м1 I3 7 10 <
е) 3— –1 — — = 5
2 7 2 7
15 __45 –23_ 31 _ 1
23 ~ 46 • 15 ~ 2 • 1 _ 2
01:9,2.I = –L = –L
11 119 3–11 33
е) 3I.2i = 2 – = –.– = – = li
2'3 2 3 27 2 2

1»99.12.2i:4l + 2l:A.2 = 2.Ii;?+Ii.H.2 =
7 2 5 10 8472 5 98
9–2 3–4–2–5–3 , , „
1 — 1 + 1 — 2
1–9 5–3–3–4–2
7 8 3 1
1100. —–9 + 12–—+ 1—:4 + –:4– =
20 36 15 5 2
63 7 23 J_ 3 9 63–3 + 7–20 + 23 3–2 _
_20 + 3 + 154 + 52~ 60 + 5–9 _
352 [ 1–2 352 + 8 360
“ 60 + 5–3 ~ 60 " 60 “
18li.iZ.42l.472–H.8216.15n 2231 =
53 34 5 9 161 617 40 36
975 27 212 425 125 5152 617 823 _
“ 53 34’ 5 ’ 9 16l' 617 ’ 40 ' 36 "
65 X• 3• 3• У• • X• 2 25• yf 25–/ >6f–X–/–823
WiTWTl WTTJ^~
= 65.3.3–2 25–^ = 29250–^ =
9
= 29250 – 2286 –1 = 26963^
H02. f4—–8—–!6—:—1–14—: — =
63 55 5 25 J 11 77 405
275 477 _ 8j_ 25^1 162 77 1
63 55 5 21J 11 26 405"
53 27–5^1 1–7–1 130 7
= 2
7 1–7 ) 1–13–5 . 7 13–5
1103. I —85—–4––—V29—–52––121—–3— 81 17 8 117 J I 35 2 19 16
34 1458 39 80 81 17 8 117
= (36–3–10)–369 = 98–369 = 36162

П04. 2.5 .8 ^ Г15 24 24 J3
7 9 10 1 16 39 25 21
2 15 2 >
2—–2—–2—–4—:196
7 17 3
_ 2 4 104
3 + б’ 3 ,
53 2–39 45–53–2–39 9–53–2–1
11 (21 Н (11 1 11
29 +V26 + 65 J 51 v75 + 50 J 59

29
74–2 + 49–3 153
130 51
145–1 221–1 295–1
29 13–51 10–59

= (? + I + ll 3 Г5 + 2 + 3") 3 10–1 _ "U + 3 + 2j'54 6 J 5 ~ 2–5 ~~
.17 34 2) \ 28М 11
+ 5 + 17 17 /9 11 593 П 28–1
28 I 6 4 9 2–28

 

= 12–4—+ — + 3—
9 4 4
7–5
= 1 7– + 3–
–28 J I 9 2

= 10^^ = ]91.2=781
18 5 1 5 5

 

b) 7 5 102 . 3
—: – + 22 + + 4: —
3 11 2
^ 170
+ 22 н ь
11

+ 2—+ 5^–—–30: —
15 2) 15 28
5.1–2.А :421
5 22) 2

f210y–168j–4–85 481–4–85
23–7 + 31–4–3–9–7–5–3–4 252

78
36 485–7 = 252 3–8 _
~ —–Г 54±: 25 78 I 6
54l
6
i 2'5’7
1
3 325 1
4 6 25

,,,0 м –,1 .2 „2 •4 (7 14 14 7
a) 3—:4—+ 4—:3— –4—=
2 3 32J5I23 32

¦7 3 14 2^
14+ 3 7
2J2+1
U 3
34 + 16 24 12 ’ 5
а) Если мальчики составляют 1 часть класса, то девочки —
части.
1 + 3 = 4 (части) — приходится на весь класс;
56 : 4 = 14 (уч.) — приходится на 1 часть;
14 • 3 = 42 (уч.) — девочки.
Ответ: 42 девочки.
б) Пусть возраст внука составляет 1 часть, тогда возраст дедушки —
частей.
7 – 1 = 6 (частей) — приходится на 48 лет (разница в возрасте);
48 : 6 = 8 (л.) — приходится на 1 часть;
7 • 8 = 56 (л.) — дедушке.
Ответ: 56 лет.
в) Пусть площадь под морковь составляет 1 часть, тогда площадь под картофель — 5 частей.
5 + 1 = 6 (частей) — приходится на общую площадь;
27 : 6 = 4,5 (га) — приходится на 1 часть;
4,5 • 5 = 22,5 (га) — площадь под картофель.
Ответ: 22,5 га.
а) Если из коллекции изъять 45 российских марок, то марок станет поровну.
357 – 45 = 312 (м.) — будет в коллекции;
312 : 2 = 156 (м.) — иностранных;
156 + 45 = 201 (м.) — российская.
Ответ: 201 марка.
б) Если вычесть из первоначальной суммы 10 р., то количество потраченных и оставшихся денег будет равным.
28 – 10 = 18 (р.) — останется;
18 : 2 = 9 (р.) — у него осталось.
Ответ: 9 р.
в) Если первоначальное число пассажиров уменьшить на 7 человек, то число вышедших будет равно числу оставшихся.
55 – 7 = 48 (ч.) — станет;
48 : 2 = 24 (ч.) — осталось;
24 + 7 = 31 (ч.) — вышел.
Ответ: 31 человек.
г) Если первоначальный вес яблок уменьшить на 12 кг, то вес проданных яблок будет равен весу оставшихся.
200 – 12 = 188 (кг) — станет;
188 : 2 = 94 (кг) — осталось;
94 + 12 = 106 (кг) — было.
Ответ: 106 кг.
а) Пусть всего было п человек. Тогда, с одной стороны, орехов было 3 • 1 + (п – 1) • 5, с другой стороны, было (4 • п + 15) орехов.
3 + (п–1)–5 = 4и + 15<=>5л–2 = 4и + 15<=>и = 17 (чел.) —было;
7 • 17 + 15 = 83 (ореха) — было.
Ответ: 83 ореха.
б) Пусть в школе было п девочек и п мальчиков. Тогда в первый раз учитель принес (4 • п + 5 • п) орехов, что составляет 234.
4и + 5п = 234 <=> 9и = 234 <=> п = 26 (чел.) — было мальчиков и девочек;
26 + 26 = 52 (чел.) — было всего;
52 • 6 = 312 (орехов) — было принесено во второй раз.
Ответ: 312 орехов.
1) 1) 800 • 3 = 2400 (р.) — получили два младших брата;
2400 : 2 = 1200 (р.) — получил каждый младший брат;
1200 • 5 = 6000 (р.) — стоили три дома вместе;
6000 : 3 = 2000 (р.) — стоил каждый дом.
Ответ: 2000 р.
Пусть вода, которую отлили, составляет 1 часть, тогда оставшаяся вода — 7 частей.
1 + 7 = 8 (ч.) — приходится на 40 ведер;
40 : 8 = 5 (в.) — приходится на 1 часть (отлили).
Ответ: 5 ведер.
Пусть пожертвование первого составляло 1 часть, тогда второго — 2 части, третьего — 2–3 части, четвертого — 2–3–4 части. В сумме пожертвовали 132.
1+2 + 2 – 3 + 2 – 3 – 4 = 33 (ч.) — составляют 132;
132 : 33 = 4 — приходится на 1 часть (дал первый).
Ответ: 4.
а) Пусть детей — п человек, тогда из того, что после раздачи детям по 4 конфеты осталось 3 лишних, следует, что конфет было 4 • п + 3. С другой стороны, их было (5 л– 2).
Имеем: 4 и + 3 = 5 л–2<=>и = 5 Следовательно, было 5 детей.
Ответ: 5 детей.
б) Пусть было п ваз. С одной стороны, было (5 • п + 2) розы, т.к. в вазы поставили по 5 роз и 2 розы оказались лишними. С другой стороны, было (6 • п – 4) розы.
Имеем: 5 п–4 = 5–п + 2<^>п–6 Ответ: 6 ваз.
а) Пусть было п учащихся. Тогда, с одной стороны, тетрадей было (2 • п + 19), т.к. если выдать учащимся по 2 тетради, то 19 останутся лишними. С другой стороны, было (3 • п – 6) тетрадей.
Имеем: 3–я–6 = 2– л + 19«и = 25
Следовательно, было 25 учащихся и (2 • 25 + 19) = 69 тетрадей.
Ответ: 25 учащихся, 69 тетрадей.
б) Пусть было п рядов. Тогда, с одной стороны, стульев было (25 • п– 4), т.к. если их расставить по 25 штук в ряд, то 4 стульев не хватит. С другой стороны, их было (24 • п + 12).
Имеем: 25 •« — 4 = 24 •«–ь 12 <=> лг = 16 Следовательно, стульев было (25 • 16 — 4) = 396.
Ответ: 396 стульев.
Пусть всего было п бедных. Тогда денег, с одной стороны, было (3 • п – 8) динаров, т.к. если бы каждому давали по 3 динара, то не хватило бы 8 динаров. С другой стороны, было (2 • п + 3) динара. Имеем: 3 л–8 = 2 л + 3<=>и = 11
Следовательно, было 11 бедных.
Ответ: 11 бедных.
а) Пусть было х больших пирамид, тогда маленьких было (20 – х) пирамид. Всего было л: • 7 + (20 – х) • 5 колец, т.к. у больших пирамид
1031. колец, у маленьких 5 колец.
Имеем: х • 7 + (20 — лг) –5 = 128 <=> 7лг — 5д: = 128 — 100 <=> 2x = 28 <=> x = 14 Следовательно, купили 14 больших пирамид.
Ответ: 14.
б) Пусть было х двухколесных велосипедов, тогда трехколесных было (20 – х). У всех велосипедов было 2 • х + (20 – х) • 3 колес, т.к. у двухколесного велосипеда 2 колеса, у трехколесного — 3 колеса.
Следовательно, двухколесных велосипедов было 5.
Ответ: 5.
Пусть в классе было х мальчиков, тогда девочек было (30 •).
Всего учащиеся посадили 5 • х + 3 • (30 – х) деревьев, т.к. каждый мальчик посадил по 5 деревьев, а каждая девочка — по 3.
Имеем: 5x + 3(30–x) = 122<=> 2дг = 122–90о 2x = 32O лг = 16 Следовательно, мальчиков было 16.
Ответ: 16.
Пусть фазанов было х, кроликов — (35 – x). У них вместе было
• х + 4 • (35 – x) НОГ, Т.К. у фазана — 2 ноги, у кролика — 4 ноги. Имеем:
x + 4– (35 – x) – 94 <=> –2x = 94 –140 <=> 2х = 46 <=> x = 23 Следовательно, фазанов было 23, кроликов — (35 – 23) = 12.
Ответ: 23 фазана, 12 кроликов.
а) Пусть 1 центнер стоит x рублей, тогда, с одной стороны, лошадь стоит (15 • х + 80) р., т.к. если крестьянин продаст 15 ц. ржи, то ему не хватит 80 р. С другой стороны, лошадь стоит (20 ¦ х – 110) р. Имеем:
20x–1 10 = 15х + 80<=> 5x = 190 <=> x = 38 р. — стоит 1 ц. ржи. Следовательно, лошадь стоит (15 • 38 –н 80) = 650 р.
Ответ: 650 р.
б) Пусть бочка масла стоит х коп. Тогда, с одной стороны, у человека было (8 • х + 20 • 3) коп., т.к. когда он давал деньги за 8 бочек масла, то у него осталось 20 алтын, т.е. 20 • 3 коп. С другой стороны, у него было 9 • x – (150 + 10), т.к. 1 гривна = 10 коп. Имеем:
9x – (150 +10) = 8x + 20 • 3 <=> x = 160 + 60 <=> x = 220 Следовательно, одна бочка стоила 220 коп., а у человека было (8 • 220 + + 20 • 3) = 1820 коп. = 18 р. 20 коп.
Ответ: 18 р. 20 коп.
а) Пусть куплено х коров по 18 р. и (44 – x) коров по 26 р. тогда всего уплатили (18 • x + (44 – x) • 26) р. Имеем:
18 • x + (44 – x) • 26 = 1000 о –8• = 1000 –1144 8x = 144 о x = 18 Следовательно, было 18 коров по 18 р. и 44 – 18 = 26 коров по 26 р.
б) Пусть куплено х аршин синего и (138 – x) аршин черного сукна. Тогда уплачено (5 – x –ь (138 — лг) – 3) р. Имеем:
5 • x + (138 – x) 3 = 540 <=> 2x = 540 – 414 <=> 2л: = 126 о x = 63
Следовательно, было 63 аршина синего и 138 – 63 = 75 аршинов черного сукна.
а) 1) 15 • 8 + 20 • 7 + 25 • 4 = 360 (к.) — стоимость всей смеси;
15 + 20 + 25 = 60 (ф.) ¦=— вес смеси;
360 : 60 = 6 (к.) — стоит фунт смеси.
Ответ: 6 к.
б) Пусть взяли х фунтов первого сорта и (32 – х) фунтов второго сорта. Тогда средняя стоимость смеси — (3–х + 2,4–(32~х)) р., что составляет 2,85 • 32 р.
• X + 2,4(32–•) = 2,85–32 <=>0,6х +76,8 = 91,2 <=>
<=> 0,6х = 14,4 <=> х = 24
Следовательно, было взято 24 фунта первого сорта и 32 – 24 = 8 фунтов второго.
Пусть купили х старых и (112 – х) молодых баранов. Всего было заплачено ^15–3 + 2~j–x + 10–3(l 12–x)j коп., т.к. за старого
платили по 15 алтын и 2 деньги, а за молодого по 10 алтын. Это составляет 49 р. 20 алтын = (4900 + 20 –3) коп. = 4960 коп. Имеем:
П
15–3 + 2— х + 10–3(112–х) = 4960 <=>
2)
о 46х + 3360 – ЗОх = 4960 <=> 16х = 1600 о х = 100
Следовательно, было куплено 100 старых и 112 – 100 = 12 молодых
баранов.
1) 50 • 2 = 100 (р.) — потери купца;
110 – 50 = 60 (ф.) — продал купец на 3 р. дороже;
60 • 3 = 180 (р.) — выручка купца;
180 – 100 = 80 (р.) — прибыль купца.
Ответ: 80 р.
а) Пусть книги на второй полке составляют 1 часть, тогда книги на первой полке — 3 части, т.к. если с первой полки переставить столько книг, сколько до этого стояло на второй, то книг на полках станет поровну.
1 + 3 = 4 (ч.) — приходится на 12 книг;
12 : 4 = 3 (кн.) — приходится на 1 часть.
Следовательно, на второй полке стояло 3 книги, а на первой — 9 книг. Ответ: 9 книг, 3 книги.
б) Пусть у Наташи было х яблок, у Светы — (8–х) яблок. Тогда в первый раз Света дала Наташе х яблок. У Наташи стало х + х = 2х яблок, у Светы (8–х)–х = 8– 2х яблок.
Во второй раз Наташа дала Свете (8 – 2х) яблок, т.е. у Наташи осталось 2х – (8 – 2х) = 4х – 8 яблок, а у Светы стало 8–2х+8–2х = 16 –4х яблок. Яблок у девочек стало поровну. Имеем:
4х–8 = 16–4хо8х = 24<»х = 3
Следовательно, у Наташи было 3 яблока, у Светы — 5 яблок.
в) Пусть у третьего мальчика а яблок, у второго — Ъ яблок, тогда у первого 24 – (а + Ь) яблок, т.к. всего было 8 • 3 = 24 яблока. Тогда в первый раз второй мальчик получит b яблок, а третий — а яблок. У первого останется 24 – (а + b) – а – b = 24 – 2а – 2Ь, у второго ста–
нет 2Ь яблок, у третьего — 2а яблок. Во второй раз первый мальчик получит (24 –2а– 2Ь) яблок, третий — 2а яблок. У первого мальчика станет 2 • (24 –2а– 2Ь) яблок, у третьего — 2 • 2а = = 4а яблок, у второго останется 2b – (24 –2а– 2Ь) – 2а = 4Ь – 24 яблока. В третий раз первый мальчик получит 2 • (24 –2а– 2Ь) яблок, второй — (46 – 24) яблока.
У третьего мальчика осталось 4а – 2 • (24 – 2а – 2Ь) – (4b – 24) = 8а –24 яблока, у второго станет 2 • (4Ь – 24) яблока, у первого — 2 • 2 • (24 –
2а – 2Ь) яблок. У всех мальчиков окажется по 8 яблок.
2(4b–24) = S<•4b–24 = 4ob = l
8а–24 = 8оа = 1 + 3^>а = 4
Следовательно, у третьего мальчика было 4 яблока, у второго — 7 яблок, у третьего — (24 – 7 – 4) = 13 яблок.
Ответ: 13 яблок, 7 яблок, 4 яблока.
а) 1)32 р. 19 к.–21 р. 72 к. = 31 р. 119 к–21 р. 72 к. =
= 10 р. 47 к. — стоит кисть;
21 р. 72 к. – 10 р. 47 к. = 11 р. 25 к. — стоят краски.
Ответ: 11 р. 25 к.; 10 р. 47 к.
б) 1) 9 р. 93 к. – 6 р. 66 к. = 3 р. 27 к. — на столько ручка дороже тетради;
6 р. 66 к. – 3 р. 27 к. = 3 р. 39 к. — стоят три тетради;
3 р. 39 к.: 3 = 1 р. 13 к. — стоит одна тетрадь;
3 р. 27 к. + 1 р. 13 к. = 4 р. 40 к. — стоит одна ручка.
Ответ: 1 р. 13 к.; 4 р. 40 к.
в) 1) 22 р. 40 к. – 11 р. 20 к. = 11 р. 20 к. — на столько 2 угольника дороже 2 линеек;
11 р. 20 к. : 2 = 10 р. 120 к. : 2 = 5 р. 60 к. — на столько 1 угольник дороже 1 линейки;
11 р. 20 к. – 5 р. 60 к. = 10 р. 120 к. – 5 р. 60 к. = 5 р. 60 к. — стоят 4 линейки;
5 р. 60 к.: 4 = 1 р. 40 к. — стоит линейка;
5 р. 60 к. + 1 р. 40 к. = 7 р. — стоит угольник.
Ответ: 1 р. 40 к.; 7 р.
1) 2 кг 500 г – 2 кг 400 г = 100 г — на столько гусенок тяжелее утенка;
4 • 100 г = 400 г — на столько 4 гусенка тяжелее 4 утят;
2 кг 500 г – 400 г = 2 кг 100 г — весит 7 утят;
2 кг 100 г : 7 = 300 г — весит 1 утенок;
300 г + 100 г = 400 г — весит 1 гусенок.
Ответ: 400 г.
а) 1) 12 : 4 = 3 (га) — убирали в день две бригады вместе;
12:6 = 2 (га) — убирает в день первая бригада;
3 – 2 = 1 (га) — убирает в день вторая бригада;
12 : 1 = 12 (дней) — за столько вторая бригада выполнит работу. Ответ: за 12 дней.
б) 1) 42 : 3 = 14 (стр.) — перепечатывает первая машинистка за 1 ч;
42 : 6 = 7 (стр.) — перепечатывает вторая машинистка за 1 ч;
14 + 7 = 21 (стр.) — перепечатывают две машинистки за 1 ч.;
42 : 21 = 2 (ч.) — за столько времени они перепечатают рукопись. Ответ: за 2 ч.
в) 1) 600 : 10 = 60 (л.) — заполняет первый кран за 1 мин;
600 : 15 = 40 (л.) — заполняет второй кран за 1 мин;
60 + 40 = 100 (л.) — заполняют два крана за 1 мин;
600 : 100 = 6 (мин) — за столько времени они заполнят бак.
Ответ: за 6 мин.
г) 1) 900 : 10 = 90 (км) — проезжает скорый поезд за 1 ч;
900 : 15 = 60 (км) — проезжает товарный поезд за 1 ч;
90 + 60 = 150 (км) — на столько сближаются поезда за 1 ч;
900 : 150 = 6 (ч) — через столько времени поезда встретятся.
Ответ: через 6 ч.
а) 1) 72 : 3 = 24 (заготовки) — обтачивает токарь за 1 ч;
24 : 2 = 12 (заготовок) — обтачивает ученик за 1 ч;
24 + 12 = 36 (заготовок) — они обточат за 1 ч;
144 : 36 = 4 (ч) — за столько они обточат 144 детали.
Ответ: 4 ч.
б) 1) 480 : 4 = 120 (деталей) — можно отштамповать за 1 ч на первом станке;
4 • 3 = 12 (ч) — за столько времени на втором станке отштампуют 480 деталей;
480 : 12 = 40 (деталей) — можно отштамповать за 1 ч на втором станке;
120 + 40 = 160 (деталей) — можно отштамповать за 1 ч при совместной работе;
960 : 160 = 6 (ч) — за столько времени можно отштамповать 960 деталей при совместной работе.
Ответ: за 6 ч.
а) 1) 83 – 82 = 1 (кг) — на столько Вова тяжелее Бори;
85 – 1 = 84 (кг) — удвоенный вес Бори;
84 : 2 = 42 (кг) — вес Бори;
83 + 42 = 125 (кг) — весят вместе Алеша, Боря и Вова.
Ответ: 125 кг.
Если сложить все 4 величины, то в сумму войдут утроенное количество денег у каждого из них.
90 + 85 + 80 + 75 = 330 (р.) — утроенная общая сумма денег;
330 : 3 = 110 (р.) — общая сумма денег у четверых купцов;
110 – 90 = 20 (р.) — деньги первого;
110 – 85 = 25 (р.) — деньги второго;
110 – 80 = 30 (р.) — деньги третьего;
110 – 75 = 35 (р.) — деньги четвертого.
Ответ: 20 р.; 25 р.; 30 р.; 35 р.
Пусть скорость течения х км/ч, а собственная скорость спортсмена — у км/ч. Тогда через 10 мин после потери спортсмен проплывет (у – х) ¦— км против течения, т.к. 10 мин = — ч, а фляга про– 6 6
1
плывет х — км по течению. Расстояние между ними составит 6
, .1 11
(у–х)— + х–– = — • V.
6 6 6
О — У '¦ У ~ — (ч) — через столько времени спортсмен догонит флягу, 6 6
после того как повернет обратно;
— • х = — (км) — проплывет за это время фляга;
6 6
х х 2х х
— + — = — = — (км) — общий путь фляги;
6 6 3
х
— = 1 х = 3 (км/ч) — скорость течения.
Ответ: 3 км/ч.
1143.1)10:8 = 5:4 — так соотносятся доли первой и второй соседок; 2) 5+4 = 9(ч.)
Следовательно, первая соседка получит 5 яблок, вторая — 4 яблока. Ответ: 5 яблок, 4 яблока.
Пусть было х котят, тогда у них всех было 4 • (х + 1) лап и (х + 1) хвост, т.к. нужно учитывать саму кошку. Имеем:
• (х +1) – (х +1) = 24 <=> 3 • (х +1) = 24 <=> х +1 = 8 о х = 7 Следовательно, у кошки было 7 котят.
Ответ: 7 котят.
1) 800 г : 1 кг = 800 г : 1000 г = 0,8 — такую часть бананов продал торговец на самом деле;
21 р. 60 к. : 0,8 = 2160 к. : 0,8 = 2700 к = 27 р. — истинная цена бананов за 1 кг.
Ответ: 27 р.
Пусть скорость первого мотоциклиста — хкм/ч, второго — (х + 10) км/ч.
х + (х + 10) = 2х+10 (км/ч) — скорость сближения мотоциклистов;
(2х + 10)–4 = 400<=>2х + 10 = 100<=>2х = 90«>х = 45 км/ч.
Следовательно, скорость первого — 45 км/ч, второго — 55 км/ч. Ответ: 45 км/ч, 55 км/ч.
а) 1) 4 + 5 = 9 (км) — на столько они отдаляются за 1 ч;
45 : 9 = 5 (ч) — через столько времени расстояние между ними составит 45 км.
Ответ: через 5 ч.
б) 1) 80 + 90 = 170 (км/ч) — скорость сближения поездов;
2) 510 : 170 = 3 (ч) — через столько времени они встретятся.
Ответ: через 3 ч.
в) 1) 170 : 170 = 1 ч. — через столько времени расстояние между ними составит 170 км.
Ответ: через 1 ч.
г) 1) 38 — 33 = 5 (км/ч) — удвоенная скорость течения;
2) 5 : 2 = 2,5 (км/ч) — скорость течения.
Ответ: 2,5 км/ч.
д) 1) 40:2–1 = 40 Д = ~~~ = 16 (км/ч) — скорость лодки по течению;
40 : 4 = 10 (км/ч) — скорость лодки против течения;
16 – 10 = 6 (км/ч) — удвоенная скорость течения;
6 : 2 = 3 (км/ч) — скорость течения.
Ответ: 3 км/ч.
3
а) 32 • — = 24 (уч.) — учится на «4» и «5»;
4
18•5
б) 18:– = — = 30 (уч.) — в классе;
12 12 3
в) 1) = — – — (части) — девочки;
12 + 16 28 7
4
1 – — = — (части) — мальчики.
а) Примем второе слагаемое за единицу.
2 5
1 + –j • 1 = 1 — = — (частей) — составляют в сумме оба слагаемых;
„ ^ 5 45–3
45: — = —— = 27 — второе слагаемое;
45 – 27 = 18 — первое слагаемое.
Ответ: 18; 27.
б) Примем сумму за единицу. Тогда первое слагаемое составляет 1
второе — –.
= l (часть) — составляет 45;
45:1 = 135 — составляет сумма;
2
135 ¦ — = 90 — первое слагаемое;
135 – 90 = 45 — второе слагаемое.
Ответ: 90; 45.
в) Примем сумму за единицу. Тогда первое слагаемое составит 1 2 1
1 — = — суммы.
3
45:1 = 135 — составит сумма.
Ответ: 135.
г) Примем уменьшаемое за единицу.
, 2 1
1 – — = — — составит разность;
45:1 = 135 —составит уменьшаемое;
135 –45 = 90 — составит вычитаемое.
Ответ: 135; 90.
а) Примем всю работу за единицу.
1:4 = — (часть) — заполняет первый кран за 1 мин;
4
1:12 = (часть) — заполняет второй кран за 1 мин;
1 1 3 + 1 1 .
— + — = = — (часть) — заполняют оба крана за 1 мин;
12 12 3
1:1 = 3 (мин) — за столько времени они заполнят бак.
Ответ: 3 мин.
б) Примем все расстояние за единицу.
1:60 = –1– (часть) — расстояния проезжает грузовая машина за
60
1 мин;
1:40=— (часть) — расстояния проезжает легковая машина за
40
1 мин;
•ч 1 1 2 + 3 1 ,
J) — н = = — (часть) — на столько они сближаются за
40 120 24
мин;
1: = 24 (мин) — через столько они встретятся.
Ответ: через 24 мин.
в) Пусть скорость первого пешехода —х м/мин, второго —у м/мин. Тогда до встречи первый пройдет расстояние 20 • х м, второй — 10 – у м. После встречи первый пройдет 25 • х м, что равно 20 –у м. Имеем:
25х = 20у&у = ^х
Следовательно, скорость второго — х м/с. Найдем, за сколько он
4
пройдет остаток пути, т.е. 20 • х м:
(5 \ 20–4
20 •x : ( — • x I = —–— = 16 (мин.)
Ответ: через 16 мин.
20Л: 20у
_Л _ л_
( Y ^
А I 1 1 В
У
25л:
г) Примем объем бака за единицу.
1:56 = — (часть) — воды вытекает из бака за 1 мин; 118–11
= ~ (часть) — воды набирается в дырявом баке;
1: — = 8 (мин) — за столько наполнится дырявый бак.
8
Ответ: за 8 мин.
— (часть) — всех книг составляют учебники математики.
12
Ответ: двенадцатую.
2
1) 18 — = 4 (мальчика) — занимаются в литературном кружке;
16 • — = 4 (девочки) — занимаются в литературном кружке;
4
4 + 4 = 8 (учащихся) — занимаются в литературном кружке. Ответ: 8.
а) 1) 24–1 = 6 (р.)–—составляет 1 часть;
4
24 – 6 = 18 (р.) — составляет остаток;
18 : 2 = 9 (р.) — половина остатка;
9 + 6 = 15 (р.) — потратил мальчик.
Ответ: 15 р.
б) Примем весь путь за единицу.
3
1 — = — (части) — осталось пройти после I дня;
4
5 5
— — (частей) — прошли за II день;
5 9–5 1
— – — = — = — (часть) — прошли за III день;
48 1 = 16 (км) — прошли за III день.
Ответ: 16 км.
1) 12 – 5 = 7 (ч) — через столько времени после выхода мужика выехал барин;
7 • 5 = 35 (верст) — прошел за это время мужик (расстояние между ними);
11 —5 = 6 (верст) — на столько расстояние между ними уменьшается за 1 ч;
35:6 = 5— (ч) — через столько времени барин догонит мужика;
6
11–5— = 55 + — = 55 + 9— = 64— (верст) — на таком расстоянии
6 6 6
барин догонит мужика.
Ответ: на 65–й версте.
1)7:2 = 3,5 (мили) — проходит Л за 1 час;
59 – 3,5 = 55,5 (мили) — такое расстояние будет между ними через
час;
g
8:3 = — (мили) — проходит В за 1 час;
1032. . . 8 7 16 + 21 37 . .
— + 3,5 = — + — = = — (мили) — на столько они сближают–
3 2 6 6
ся за 1 час;
^ е 31 1116
55,5: —= –^–– — = 9 (часов) — через столько времени после выхода В они встретятся;
9 • 3,5 + 3,5 = 10 • 3,5 = 35 (миль) — столько пройдет А до встречи с В.
Ответ: 35 миль.
Примем всю работу за единицу.
1:9 = 1 (часть) — всей работы выполняет первая бригада за 1 час;
1:12 = –^ (часть) — всей работы выполняет вторая бригада за 1 час;
• 3 = 1 (часть) — всей работы выполнила первая бригада;
1 – — = j (части) — всей работы осталось выполнить второй бригаде;
1 212
—; — = —–— = 8 (дней) — работала вторая бригада;
8 + 3 = 11 (дней) — за столько было выполнено задание.
Ответ: за 11 дней.
Примем весь путь за единицу.
1:8 = — (часть) — пути проходит катер за 1 час, плывя по течению;
8
1:72 = (часть) — пути проходит плот за 1 час, плывя по течению;
^ 1 1 9–1 1 ч
8_72 =_72_~9 (часть' — пути проходит катер за 1 час, плывя
по озеру;
1:1 = 9 (часов) — потратит катер на тот же путь по озеру.
Ответ: 9 часов.
а) Примем весь путь за единицу.
1:2 = — (часть) — пути проходит моторная лодка по течению за 1 час;
1:8 = — (часть) — пути проходит плот по течению за 1 час;
8
о 1 2 1 , ч
—2 — = — = — (часть) — пути проходит моторная лодка против
8 8 4
течения за 1 час;
1:1 = 4 (часа) — столько времени затратит моторная лодка на обратный путь.
Ответ: 4 часа.
б) Примем весь путь за единицу.
1:40 = 1 (часть) — пути проходит плот по течению за 1 час;
1:4 = 1 (часть) — пути проходит катер по течению за 1 час;
4
1 ~ 1 Ю–2 1
— – 2 • — = ^ = ~ (часть) — пути проходит катер против тече
ния за 1 час;
1:^ = 5 (часов) — столько плывет катер от В до А.
Ответ: 5 часов.
1) 96 : 2 = 48 (гусей) — половина всех гусей;
2 алтына 7 полушек • 48 = 96 алтынов 336 полушек =
= ^96 –3 + 336 –lj коп. = 372 коп. = 3 р. 72 коп. — заплатили за первую половину;
(2 алтына – 1 полушка) • 48 = 96 алтынов – 48 полушек =
( п
= 96–3–48 — коп. = 276 коп. = 2 р. 76 коп. — заплатили за вто–
I 4 J
рую половину;
3 р. 72 коп. + 2 р. 76 коп. = 6 р. 48 коп. — стоит покупка.
Ответ: 6 р. 48 коп.
а) Примем всю работу за единицу.
1:9 = 1 (часть) — работы выполняютI и П бригады,работая вместе;
1:18 = — (часть) — работы выполняют II и III бригады, работая
18
вместе;
l:12=–jl^ (часть) — работы выполняют I и III бригады, работая вместе;
1 – — = — = — (часть) — на столько работы больше выполняет
1033. 18 18 18
бригада, чем III;
1 3–2 1
) = = — (часть) — удвоенная работа III бригады за 1
12 18 36 36
день;
: 2 = — (часть) — работы выполняет III бригада за 1 день;
72
1 8 + 11,
) о + = = — (часть) — работы выполняют три бригады за
72 72 8
день;
8) 1: —= 8 (дней) — за столько это задание могут выполнить три
О
бригады, работая вместе.
Ответ: за 8 дней.
б) Заметим, что 1 ч 10 мин = 70 мин, 1 ч 24 мин = 84 мин, 2 ч 20 мин = = 140 мин.
Примем работу за единицу.
1:70 = 1 (бассейна) — заполняют I и II трубы за 1 мин;
1:84 = 1 (бассейна) — заполняют I и III трубы за 1 мин;
1:140 = у~ (бассейна) — заполняют II и III трубы за 1 мин;
— — = ——– = —1— (бассейна) — на столько II труба заполняет
70 84 420 420
за 1 мин больше, чем III труба;
— — = –—– = —— (бассейна) — удвоенная работа III трубы
140 420 420 210
за 1 мин;
—1—: 2 = –1— (бассейна) — заполняет III труба за 1 мин;
210 420
•74 1 1 6+1 1 //г „ ч
) 1– = = — (бассейна) — заполняют три трубы вместе за
70 420 420 60
мин;
1: –1 = 60 (мин) — за столько времени три трубы наполнят бас–
60
сейн.
Ответ: за 60 мин.
в) 1:2– – 72 (дня) — за столько третья бригада выполняет задание. Ответ: за 72 дня.
Примем весь путь за единицу.
1:7 = (часть) — пути пролетает дикая утка за 1 день;
1:9 = ^ (часть) — пути пролетает дикий гусь за 1 день;
1 1 9 + 7 6 ,
— + — = = — (части) — на столько они сближаются за 1 день;
9 63 63
А 1 16 63 ,15 , ч
I: — = — = 3— (дня) — через столько времени они встретятся.
Ответ: через З–^дня.
16
Примем всю работу за единицу. Заметим, что 3 недели = 3 • 6 •
12 ч = 216 ч, 8 недель = 8 • 6 • 12 = 576 ч, 12 недель = 12 • 6 • 12 =
= 954 ч.

l:216 = –jj^ (часть) — работы выполняет А за 1 ч;
3:576 = (часть) — работы выполняет В за 1 ч;
5:864 = (частей) — работы выполняет С за 1 ч;
11 8 + 9+2 19 ,
) 1 1 = = (частей) — работы выполняют
216 192 864 1728 1728
А, В и С за 1 ч, работая вместе;
1: —
и:
работу.
18
Ответ: за 90— ч.
19
а) 1) 2–1 = | (маршрута) — турист пройдет за 2 дня;
J 1 1 , ч „ 1
) — (маршрута) — турист пройдет за — дня;
3 6 2
—.1 = 1. (маршрута) — турист пройдет за — дня.
3 4 4
3
1) —–96 = 72 (р.) — стоят — м ткани;
4
2
— • 96 = 64 (р.) — стоят — м ткани.
3
4
в) 1) 3 — = 4 (алтына) — стоит один метр сукна;
4– 100 = 400 (алтынов) — стоят сто метров сукна;
400 алтынов = 400 • 3 коп. = 12 р.
Ответ: 12 р.
1164 , , , , ,
А В С D Е
отрезков: АВ, AC, AD, АЕ, ВС, BD, BE, CD, СЕ, DE.
1034. лучей (аналогично)
а) б)
в

а) 60 мм = 6 см
б) 65 мм = 6,5 см
в) 5 мм = 0,5 см
а) 500 см2 = 5 дм2
б) 50 см2 = 0,5 дм2
в) 5 см2 = 0,05 дм2
а) 8000 дм3 = 8 м3
б) 800 дм3 = 0,8 м3
в) 80 дм3 = 0,08 м3
a) S= 25 • 24 м2 = 600 м2 = 6 ар.
б) 5= 75 • 32 м2 = 2400 м2 = 24 ар.
в) S = 50 • 28 м2 = 1400 м2 – 14 ар.
a) S– v • t = 60 м/мин • 10 с = 60 м/мин
\_
6 \_
6 J_
6
a) S– v • / = 90 км/ч • 20 с = 90 : 3,6 м/с • 20 с = 25 • 20 м = 500 м
б )S=v ¦ t = 120 км/ч • 20 с = 126 : 3,6 м/с • 20 с = 35 • 20 м = 700 м
в) 5 = v • / = 108 км/ч • 20 с = 108 : 3,6 м/с • 20 с = 30 • 20 м = 600 м
г) S = v • t= 162 км/ч • 20 с = 162 : 3,6 м/с • 20 с = 45 • 20 м = 900 м
а) 60 км/ч = 60 • 1000 : 60 м/мин = 1000 м/мин
б) 120 км/ч = 120 • 1000 : 60 м/мин = 2000 м/мин
в) 72 км/ч = 72 • 1000 : 60 м/мин = 1200 м/мин
г) 48 км/ч = 48 • 1000 : 60 м/мин = 800 м/мин
а) 300 м/мин = 300 : 60 м/с = 5 м/с
б) 420 м/мин = 420 : 60 м/с = 7 м/с
в) 600 м/мин = 600 : 60 м/с = 10 м/с
г) 36 км/ч = 36 : 3,6 м/с = 10 м/с
д) 72 км/ч = 72 : 3,6 м/с = 20 м/с
е) 54 км/ч = 54 : 3,6 м/с = 15 м/с
а) 1) 100 : 4 = 25 (труб) — нужно для укладки трубами длины 4 м;
25 • 50 = 1250 (р.) — их стоимость;
нужно для укладки трубами длины 3 м;
34 • 38 = 1292 (р.) — их стоимость.
1250 р. < 1292 р,
следовательно, трубы длиной 4 м обойдутся дешевле. Ответ: 1292 р.

б) 1) 8 • 36 • 15 • 15 = 64800 (см2) — получится в I случае;
7 • 24 • 20 • 20 = 67200 (см2) — получится во II случае.
67200 > 64800, следовательно, во втором случае будет больше отходов. Ответ: во втором случае.
в) 1)8–50– 10 = 4000 (см2) — площадь обоев шириной 50 см;
7 • 60 • 10 = 4200 (см2) — площадь обоев шириной 60 см;
4200 > 4000, следовательно, во втором случае отходов будет больше. Ответ: во втором случае; 10 м.
С учетом калитки длина ограждения составит 99 + 1 = 100 м. Следовательно, размеры участка будут равны 25x25, т.к. прямоугольник наибольшей площади при заданном периметре квадрат, а сторона квадрата — 100 : 4 = 25 м.
Ответ: 25x25?
Прямоугольником наименьшего периметра с заданной площадью является квадрат. Пусть сторона квадрата — а м. Тогда:
а2 = 4 сотни <=> а2 = 400 м о а = 20 м.
Следовательно, периметр будет наименьшим, если прямоугольники — это квадрат со стороной 20 см.
Длина и ширина могут быть произвольными.
1) Может иметь произвольные размеры.
Среди всех параллелепипедов с заданной суммой измерений наибольший объем имеет куб.
150 : 3 = 50 (см) — сторона куба;
50 • 50 • 50 = 125000 см =125 дм3 — объем куба.
Ответ: 125 дм3 — максимальный объем коробки.
Устный.
Устный.
б)
1180. а)

1181. а)

б)

в)
6)1)

1184. а)

1)5 дней 17 часов – 12 часов = 5 дней 5 часов — пройдет;
5 дней 5 часов = (5 • 24 + 5) часов = 125 часов;
125 : 2,5 = 50 (раз) — столько раз часы будут отставать;
50 ~ = 25 (мин) — на столько отстанут часы;
17 часов – 25 мин = 16 часов 35 мин — такое время покажут часы;
60: –1 = 120 (раз) — должны отстать часы;
120 • 2,5 = 300 (часов) — через столько отстанут часы;
300 часов = 12–1 суток.
Ответ: 16.35; через 12— суток.
11И 1Ч , 3 1 8–3–4 1 . . ..
1) 1 = = — (книги) — составляют 52 страницы
2 8 8
без 12 страниц;
52 – 12 = 40 (стр.) — приходится на — часть;
8
40: — = 320 (стр.) — всего в книге.
8
Ответ: 320 стр.
75
1) — • 60 — — (мин) — стреляли;
2
ЛЧ 75 3 75–4
—: — = — = 50 (выстрелов) без учета первого выстрела сделали.
Следовательно, сделали 50 + 1 =51 выстрел, т.к. начало стрельбы соответствовало первому выстрелу.
Ответ: 51 выстрел.
188 47
1) 12—:4 = = — (верст) — делает первый обоз за 1 ч;
4–15 15
49 49
9—: 3 = = — (верст) — делает второй обоз за 1 ч;
49 47 2
) = — (верст) — на столько второй обоз делает больше за
15 15
ч, чем первый;
2
—15 = 2 (версты) — на столько второй обоз пройдет больше, чем первый.
Ответ: второй, на 2 версты.
1) 4 ~ • 12 = 20 (p.) — получила первая крестьянка;
2
2 — 12 = 16 (р.) — получила вторая крестьянка;
оч П с Ю 2 . ч .
3^:5 = = — (пуда) — было в одной кадке у третьей крестьянки;
2
—¦ 12 = 8 (р.):— получила третья крестьянка;
20 + 16 + 8 = 44 (р.) — получили три крестьянки вместе.
Ответ: 44 р.
13 3 1
1) —: 1—= — : — = — (версты) — делала лошадь первого за 1 мин;
17 7 3
1—: 2— = — : — = — (версты) — делала лошадь второго за 1 мин;
3 4 3 4
1 3–2 1
) = — (версты) — на столько лошадь второго делала за
2 4 4
1 мин больше, чем лошадь первого;
—8 = 2 (версты) — на столько вторая лошадь прошла больше,
4
чем первая;
2 • 200 = 400 (р.) — выиграл второй господин.
Ответ: второй выиграл 400 р.
12
1) 2500 —= 1200 (лошадей) — поставил подрядчик для кавалерии;
2
1200 • — – 800 (лошадей) — поставил подрядчик для артиллерии;
5
800 • — = 500 (лошадей) — поставил подрядчик для обоза;
8
.. 3 2 1035 2 207 , .
258— ¦ — = —^ • — = —— (р.) — платили за лошадь для артиллерии;
207 5 115
—— — = —— (р ) — платили за лошадь для обоза;
500 —^ = 28750 (р.) — получил подрядчик за всех лошадей, купленных для обоза.
Ответ: 28750 р.
1Ч 5 4 5 9 15 ,
1) —: — = — (листа) — может написать первый писарь
9 12 4 16
за 1 ч;
5 5 8 2 ,
—: — = = — (листа) — может написать второй писарь за 1 ч;
8 12 5 3
.1 9 8 9 7 9 .
—: 1— = —: —= = — (листа) — может написать третии пи–
5 7 14 7 14 8 16
сарь за 1 ч;
6 9 2 45 + 27 + 32 104 13 ,
) 1 + — = = = — (листа) — могут написать три
7 16 3 48 48 6
писаря за 1 ч;
3 13
— = ~ – I Р– 30 к. — получат три писаря за 1 ч.
Ответ: 1 р. 30 к.
3 95 495 95 19
1) 23—: 123— =—: = — (пуда) — сена получали из
4 4 4 495 99
1 пуда травы;
п,? 1 19 3745–9 71155 , М?\
936 = = (пудов) — сена получили из 936—
" 4 " 3% 4
пуда травы;
„ 3 ^ 14–5 + 18–8 214 .
—–2н—6 = = (пуда) — сена съедают 2 быка и
5 40 40
коров за 1 день;
„ 71155 214 71155–40 665–5 3325 „„58 , ч
: = = = = 33— (дня) — на столько
396 40 396–214 99–1 99 99
дней хватило бы сена.
Ответ: на 33 дня.
8 15–36 540 13 13–49 637
4 ~ 98–36 ~ 3528’ 72 " 72–49 ~ 3528'
788.а)1 = 11 = ±; 6)1 = 1“="–:
2 2–5 10 4 4–25 100
1 1–125 125 11–2 2
8 ~ 8 125 “ 1000’ 5 5 ¦ 2 ~ 10 ’
11–4 4 ч 1 1–8
Д) — = = е) — = ¦
25 25–4 100 125 125–8 1000
1031. _ 3–25 _ 75 4 _ 4–2 _ 8
1032. ~ 4–25 ~ 100’ 5 ~ 5–2 _ 10
1.6. 17 27 27 9
ч 7 _ 2 9 _3
в) 17— + 7— = 24— = 24–
13. 15 15 5
9 6~ 18 18 ~ 18 18 18
Д 5 _j_3__20_ 27_20__7_
1 1 3–1 1 ,
2, —= —— = — (расст.) — проплывает теплоход против течения реки за 1 ч;
б) 1:1 = 6 (ч) — будет плыть теплоход это расстояние против тече–
3) мин;
оч 1 1 1 + 2 1 ,
30 + U = 1Г = То (Расст ^ — проплывает катер по озеру за 1 мин;
6 3 24–3 21
II) ) = = — (ст.) — сдали два экзамена без двоек;
7 28 28 28
+ 1 = 43–42 + 1 = 2

<




[ назад] [в содержание] []